2007年四川省成都市高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为（ ）
A．10
B．9
C．8
D．7

2. 难度：中等

已知集合U=R，集合M={y|y=2^|x|，x∈R}，集合N={x|y=lg（3-x）}，则M∩N=（ ）
A．{t|t＜3}
B．{t|t≥1}
C．{t|1≤t＜3}
D．∅

3. 难度：中等

已知=（x，-1）与=（1，），则不等式•≤0的解集为（ ）
A．{x|x≤-1或x≥1}
B．{x|-1≤x＜0或x≥1}
C．{x|x≤-1或0≤x≤1}
D．{x|x≤-1或0＜x≤1}

4. 难度：中等

若函数f（x）的反函数为f^-1（x）=x²+2（x＜0），则f（log₃27）=（ ）
A．1
B．-1
C．1或-1
D．11

5. 难度：中等

若递增等比数列{a_n}满足：，则此数列的公比q=（ ）
A．
B．或2
C．2
D．

6. 难度：中等

在△ABC中，“”是“△ABC为钝角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

7. 难度：中等

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可能为（ ）

A．f（x）=2sin（-）
B．f（x）=cos（2x+）
C．f（x）=2cos（-）
D．f（x）=2sin（4x+）

8. 难度：中等

已知l、m是不重合的直线，α、β、γ是两两不重合的平面，给出下列命题：①若m∥l，m⊥α，则l⊥α；②若m∥l，m∥α，则l∥α；③若α⊥β，l⊂α，则l⊥β；④若α∩γ=m，β∩γ=l，α∥β，则m∥l．其中真命题的序号为（ ）
A．①②
B．①③
C．①④
D．②④

9. 难度：中等

函数的图象可由函数y=log₂x的图象经过下列的哪种平移而得到（ ）
A．先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度
B．先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度
C．按向量a=（1，-3）平移
D．按向量a=（-1，3）平移

10. 难度：中等

某次文艺汇演为，要将A，B，C，D，E，F这五个不同节目编排成节目单，如下表：

序号	1	2	3	4	5	6
节目

如果A，B两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，那么节目单上不同的排序方式有（ ）
A．192种
B．144种
C．96种
D．72种

11. 难度：中等

如图，设地球半径为R，点A、B在赤道上，O为地心，点C在北纬30°的纬线（O'为其圆心）上，且点A、C、D、O'、O共面，点D、O'、O共线．若∠AOB=90°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（ ）

A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知抛物线y=ax²+bx+2（a≠0）的对称轴在y轴的左侧，其中a，b∈{-2，-1，0，1，2}，在这些抛物线中，记随机变量ξ=”|a-b|的取值”，则概率P（ξ=1）应为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

13. 难度：中等

已知tan（α+）=，tan（β-）=，则tan（α+β）=    ．

14. 难度：中等

已知（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）⁸=a+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a₈x⁸，则a₁+a₂+a₃+…+a₈=    ．

15. 难度：中等

某同学进行了2次投篮（假设这两次投篮互不影响），每次投中的概率都为p（p≠0），如果最多投中1次的概率不小于至少投中1次的概率，则p的取值范围为    ．

16. 难度：中等

定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：f（-x）+f（x）=0，当x∈（-1，0）时函数f（x）的导函数f'（x）＜0恒成立．如果f（1-a）+f（1-a²）＞0，则实数a的取值范围为    ．

17. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）若x∈[0，π]，求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若f（C）=1，且b²=ac，求sinA的值．

18. 难度：中等

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=2，点M、N分别在侧棱PD、PC上，且PM=MD．
（1）求证：AM⊥平面PCD；
（2）若，求平面AMN与平面PAB的所成锐二面角的余弦值．

19. 难度：中等

已知二次函数f（x）=x²+2bx+c（b，c∈R）．
（1）若f（x）≤0的解集为{x|-1≤x≤1}，求实数b，c的值；
（2）若f（x）满足f（1）=0，且关于x的方程f（x）+x+b=0的两个实根分别在区间（-3，-2）和（0，1）内，求实数b的取值范围．

20. 难度：中等

某商场以100元/件的价格购进一批衬衣，以高于进价的价格出售，销售有淡季旺季之分．通过市场调查发现：
①销售量r（x）（件）与衬衣标价x（元/件）在销售旺季近似地符合函数关系：r（x）=kx+b₁；在销售淡季近似地符合函数关系：r（x）=kx+b₂，其中k＜0，b₁、b₂＞0且k、b₁、b₂为常数；
②在销售旺季，商场以140元/件的价格销售能获得最大销售利润；
③若称①中r（x）=0时的标价x为衬衣的“临界价格”，则销售旺季的“临界价格”是销售淡季的“临界价格”的1.5倍．
请根据上述信息，完成下面问题：
（Ⅰ）填出表格中空格的内容；

数量关系 销售季节	标价 （元/件）	销售量r（x）（件） （含k、b1或b2）	不同季节的销售总利润y（元） 与标价x（元/件）的函数关系式
旺  季	x	r（x）=kx+b1
淡  季	x

（Ⅱ）在销售淡季，该商场要获得最大销售利润，衬衣的标价应定为多少元才合适？

21. 难度：中等

已知等差数列{a_n}满足：a_n+1＞a_n（n∈N^*），a₁=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{b_n}的前三项．
（Ⅰ）分别求数列{a_n}，{b_n}的通项公式a_n，b_n；
（Ⅱ）设，若恒成立，求c的最小值．

22. 难度：中等

已知向量m=（x²，y-cx），n=（1，x+b）（x，y，b，c∈R）且m∥n，把其中x，y所满足的关系式记为y=f（x）．若f′（x）为f（x）的导函数，F（x）=f（x）+af'（x）（a＞0），且F（x）是R上的奇函数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间（用字母a表示）；
（Ⅲ）当a=2时，设0＜t＜4且t≠2，曲线y=f（x）在点A（t，f（t））处的切线与曲线y=f（x）相交于点B（m，f（m））（A与B不重合），直线x=t与y=f（m）相交于点C，△ABC的面积为S，试用t表示△ABC的面积S（t）；并求S（t）的最大值．