2004年浙江省宁波市十校高三联考数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={y|y=x+8，x∈R}，B={y|y=x²-x，x∈R}，则A∩B为（ ）
A．{-2，4}
B．{（-2，6），（4，12）}
C．
D．R

2. 难度：中等

数列{a_n}为等差数列是数列为等比数列的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

（文）下列区间中，使函数为增函数的区间是（ ）
A．
B．
C．[-π，0]
D．

4. 难度：中等

（理）y=2arccos（x-2）的反函数是（ ）
A．
B．y=cos（x-2），（0≤x≤2π）
C．
D．

5. 难度：中等

某债券市场发行三种债券，A种面值为100元，一年到期本息和为103元；B种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C种面值为100元，一年到期无利息，但买入价为97元，则这三种债券的收益率从小到大的排列为（ ）
A．B，A，C
B．A，C，B
C．A，B，C
D．C，A，B

6. 难度：中等

复数2+i和-3-i的辐角主值分别是α，β，则tg（α+β）等于（ ）
A．
B．
C．-1
D．1

7. 难度：中等

已知二面角α-l-β的大小为θ（0°＜θ＜90°），直线a⊂α，直线b⊂β，且a与l不垂直，b与l不垂直，则（ ）
A．a与b可能垂直，但不可能平行
B．a与b可能垂直，也可能平行
C．a与b不可能垂直，也不可能平行
D．a与b不可能垂直，但可能平行

8. 难度：中等

关于x的方程9^x+4•3^x-m=0有实数解，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥-4
B．-4≤m＜0
C．m＞0
D．m≥5

9. 难度：中等

直线y=x+5与曲线的交点的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

10. 难度：中等

有9名歌舞演员，其中7名会唱歌，5名会跳舞，从中选出2人，并指派一人唱歌，另一个跳舞，则不同的选派方法有（ ）
A．19种
B．32种
C．72种
D．30种

11. 难度：中等

将一张坐标纸折叠一次，使点（0，5）与点（4，3）重合，则与点（-4，2）重合的点是（ ）
A．（4，-2）
B．（4，-3）
C．
D．（3，-1）

12. 难度：中等

（文）A，B是地面上相距1000米两点，在地面上点P处发生爆炸，已知爆炸声音从点P传到点A的时间是传到点B的时间的两倍，则满足上述条件的所有可能的点P的集合是（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线

13. 难度：中等

（理）高10米和高15米的两根旗杆竖在地面上，且相距20米，则地面上到两旗杆顶的仰角相等的点P的轨迹是（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线

14. 难度：中等

函数f（x）=x³-3x²+3x-1的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

15. 难度：中等

已知，，则=    ．

16. 难度：中等

已知一个棱锥被平行于底面的两个平面截为三部分，最上面的部分是一个小棱锥，其余两部分都是棱台，若这三部分的高相等，则上、中、下三部分的体积之比为    ．

17. 难度：中等

（文）=    ．

18. 难度：中等

（理）对于数列，若[（3n-1）a_n]=1，则=    ．

19. 难度：中等

（文）若函数在区间（0，+∞）上有意义，则实数a的取值范围是    ．

20. 难度：中等

若函数，（a＞0且a≠1）的值域为R，则实数a的取值范围是    ．

21. 难度：中等

（文）解关于x的不等式：．

22. 难度：中等

（理）{a_n}是等差数列，公差d＞0，S_n是{a_n}的前n项和．已知a₂a₃=40．S₄=26．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）令，求数列{b_n}前n项和T_n．

23. 难度：中等

（文） {a_n}是等差数列，公差d＞0，S_n是{a_n}的前n项和．已知a₁a₄=22．S₄=26．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）令，求数列{b_n}前n项和T_n．

24. 难度：中等

（理）已知点M（x，y）是曲线C₁：3x³-4xy+24=0上的动点，与M对应的点的轨迹是曲线C₂．
（1）求曲线C₂的方程，并表示为y=f（x）的形式；
（2）判断并证明函数y=f（x）在区间上的单调性．

25. 难度：中等

通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f（t）表示学生注意力随时间t（分钟）的变化规律（f（t）越大，表明学生注意力越集中），经过实验分析得知：f（t）=．
（1）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？
（2）讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？
（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，教师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？

26. 难度：中等

（文）已知复数，其中A，B，C是△ABC的内角，若．
（1）求证：；
（2）若|AB|=6，当∠C最大时，求△ABC的面积．

27. 难度：中等

（理）如图，在矩形ABCD中，，BC=3，沿对角线BD将△BCD折起，使点C移到点C'，且C'在平面ABD的射影O恰好在AB上．
（1）求证：BC'⊥面ADC'；
（2）求二面角A-BC'-D的大小；
（3）求直线AB和平面BC'D所成的角．

28. 难度：中等

（文）如图，在矩形ABCD中，，BC=3，沿对角线BD将△BCD折起，使点C移到点C'，且C'在平面ABD的射影O恰好在AB上，则以C'，A，B，D为顶点，构成一个四面体．
（1）求证：BC'⊥面ADC'；
（2）求二面角A-BC'-D的正弦值；
（3）求直线AB和平面BC'D所成的角的正弦值．

29. 难度：中等

（1）已知|a|＜1，|b|＜1，求证：||＞1；
（2）求实数λ的取值范围，使不等式||＞1对满足|a|＜1，|b|＜1的一切实数a、b恒成立；
（3）已知|a|＜1，若||＜1，求b的取值范围．

30. 难度：中等

（文）如图，已知双曲线，F₁，F₂分别是它的左、右焦点，P₂P⊥F₁F₂，交双曲线于P点，连接F₁P交双曲线于另一点Q，分别与双曲线的渐近线交于A，B，且∠F₁PF₂=60°．
（1）求双曲线的离心率；（2）求的值．

31. 难度：中等

（理）已知复数，其中A，B，C是△ABC的内角，若．
（1）求证：；
（2）当∠C最大时，存在动点M，使|MA|，|AB|，|MB|成等差数列，求的最大值．