2011年江苏省南通市启东中学高三数学考前辅导材料（2）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

若复数z=（x∈R）为纯虚数，则x=    ．

2. 难度：中等

△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且，，则=    ．

3. 难度：中等

若直线l：ax+by+1=0（a＞0，b＞0）始终平分圆M：x²+y²+8x+2y+1=0的周长，则的最小值为    ．

4. 难度：中等

设α、β、r为平面，m、n、l为直线，以下四组条件：①α⊥β，α∩β=l，m⊥l②α∩r=m，α⊥r，β⊥r；③α⊥r，β⊥r，m⊥α；④n⊥αn⊥β，m⊥α；可以作为m⊥β的一个充分条件是    ．

5. 难度：中等

函数y=sinπc（x∈R）的部分图象如图所示，设O为坐标原点，P是图象的最高点，B是图象与x轴的交点，则tan∠OPB    ．

6. 难度：中等

若△ABC的周长等于20，面积是，A=60，则BC边的长是    ．

7. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=t，a_n+1-a_n+2=0（t∈N^*，n∈N^*），记数列{a_n}的前n项和的最大值为f（t），则f（t）=    ．

8. 难度：中等

已知点P（2，t）在不等式组表示的平面区域内，则点P（2，t）到直线3x+4y+10=0距离的最大值与最小值的和为    ．

9. 难度：中等

在区间[-π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）=x²+2ax-b²+π²有零点的概率为    ．

10. 难度：中等

三位学友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选取了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口饮料杯，如图所示．盛满饮料后约定：先各自饮杯中饮料一半．设剩余饮料的高度从左到右依次为h₁，h₂，h₃，则它们的大小关系是    ．

11. 难度：中等

一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如图所示）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，在从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在（2500，3500元/月）收入段应抽出    人．

12. 难度：中等

已知曲线C：y=2x²，点A（0，-2）及点B（3，a），从点A观察点B，要使视线不被C挡住，则实数a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

若椭圆C₁：=1（a₁＞b₁＞0）和椭圆C₂：=1（a₂＞b₂＞0）的焦点相同且a₁＞a₂．给出如下四个结论：
①椭圆C₁和椭圆C₂一定没有公共点；           
②；
③a₁²-a₂²=b₁²-b₂²；                      
④a₁-a₂＜b₁-b₂．
其中，所有正确结论的序号是    ．

14. 难度：中等

对任意x∈R，函数f（x）满足，设a_n=[f（n）]²-f（n），数列{a_n}的前15项的和为，则f（15）=    ．

15. 难度：中等

在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的5个小球，这些小球除去标注的数字外完全相同．甲、乙两人玩一种游戏，甲先摸出一个球，记下球上的数字后放回，乙再摸出一个小球，记下球上的数字，如果两个数字之和为偶数则甲胜，否则为乙胜．
（1）求两数字之和为6的概率；
（2）这种游戏规则公平吗？试说明理由．

16. 难度：中等

在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别是a、b、c．满足2acosC+ccosA=b．
（1）求C的大小；
（2）求sinA+sinB的最大值．

17. 难度：中等

已知f（x）=sinxcosx+cos²x-．
（1）求f（x）的对称轴方程；
（2）将函数f（x）的图象按向量a平移后得到函数g（x）的图象，若y=g（x）的图象关于点对称，求|a|的最小值．

18. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，设点P（x，y），M（x，-4）以线段PM为直径的圆经过原点O．
（1）求动点P的轨迹W的方程；
（2）过点E（0，-4）的直线l与轨迹W交于两点A，B，点A关于y轴的对称点为A^′，试判断直线A^′B是否恒过一定点，并证明你的结论．

19. 难度：中等

已知整数列{a_n}满足a₃=-1，a₇=4，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求出所有的正整数m，使得a_m+a_m+1+a_m+2=a_ma_m+1a_m+2．

20. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项积为T_n，T_n=1-a_n；数列{b_n}的前n项和为S_n，S_n=1-b_n
（1）设．证明数列{c_n}成等差数列；求数列{a_n}的通项公式；
（2）若T_n（nb_n+n-2）≤kn对n∈N⁺恒成立，求实数k的取值范围．

21. 难度：中等

如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，面AA₁C₁C是菱形，∠ACC₁=60°，侧面ABB₁A₁⊥AA₁C₁C，A₁B=AB=AC=1．求证：
（1）AA₁⊥BC₁；
（2）求点A₁到平面ABC的距离．

22. 难度：中等

一个多面体如图，ABCD是边长为a的正方形，AB=FB，FB⊥平面ABCD，ED∥FB，G，H分别为AE，CE中点．
（1）试问：这个多面体是几多面体（不必证明）？
（2）求证：GH∥平面ACF；
（3）当平面ACE⊥平面ACF时，求DE的长．

23. 难度：中等

在直平行六面体AC₁中，ABCD是菱形，∠DAB=60°，AC∩BD=O，AB=AA₁．
（1）求证：C₁O∥平面AB₁D₁；
（2）求证：平面AB₁D₁⊥平面ACC₁A₁；
（3）求直线AC与平面AB₁D₁所成角的正弦值．
★你能同时用好“由因导果和执果索因”的证明吗？

24. 难度：中等

已知常数a为正实数，在曲线C_n：上一点P（x_n，y_n）处的切线L_n总经过定点（-a，0），（n∈N^*）．求证点列：P₁，P₂，…，P_n在同一直线上．（关键是：P_i在同一直线上有三种情况：①x_i相同；②y_i相同；③为常数）

25. 难度：中等

设不等式组 表示的平面区域为D．区域D内的动点P到直线x+y=0和直线x-y=0的距离之积为2．记点P的轨迹为曲线C．过点的直线l与曲线C交于A、B两点．若以线段AB为直径的圆与y轴相切，求直线l的斜率．

26. 难度：中等

已知在△ABC中，点A、B的坐标分别为（-2，0）和（2，0），点C在x轴上方．
（Ⅰ）若点C的坐标为（2，3），求以A、B为焦点且经过点C的椭圆的方程；
（Ⅱ）若∠ACB=45°，求△ABC的外接圆的方程；
（Ⅲ）若在给定直线y=x+t上任取一点P，从点P向（Ⅱ）中圆引一条切线，切点为Q．问是否存在一个定点M，恒有PM=PQ？请说明理由．

27. 难度：中等

已知椭圆C：的离心率为，过坐标原点O且斜率为的直线l与C相交于A，B，|AB|=．
（1）求a，b的值；
（2）若动圆（x-m）²+y²=1与椭圆C和直线l都没有公共点，试求m的取值范围．

28. 难度：中等

设函数f（x）=x²，g（x）=alnx+bx（a＞0）．
（Ⅰ）若f（1）=g（1），f'（1）=g'（1），求F（x）=f（x）-g（x）的极小值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，是否存在实常数k和m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m？若存在，求出k和m的值．若不存在，说明理由．
（Ⅲ）设G（x）=f（x）+2-g（x）有两个零点x₁，x₂，且x₁，x，x₂成等差数列，试探究G'（x）值的符号．

29. 难度：中等

如图，在函数y=x³-x的图象上取4个点A_i（x_i，y_i），过点A_i作切线l_i（i=1，2，3，4），如果l₁∥l₃，且l₁，l₂，l₃，l₄围成的图形是矩形记为M．
（1）证明四边形A₁A₂A₃A₄是平行四边形；
（2）问矩形M的短边与长边的比是否有最大值，若有，求l₁与l₂的斜率，若没有，请证明．