2011年辽宁省大连市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合 A={x|x²-2x+a≥0}，且1∉A，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-∞，1]
B．[1，+∞）
C．（-∞，1）
D．[0，+∞）

2. 难度：中等

已知复数z=（a²-1）+（a-2）i（a∈R），则“a=1”是“z为纯虚数”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件

3. 难度：中等

已知A船在灯塔C北偏东75°且A到C的距离为3km，B船在灯塔C西偏北15^o且B到C的距离为km，则A，B两船的距离为（ ）
A．5km
B．km
C．4km
D．km

4. 难度：中等

已知命题“∀a，b∈R，如果ab＞0，则a＞0”，则它的否命题是（ ）
A．∀a，b∈R，如果ab＜0，则a＜0
B．∀a，b∈R，如果ab≤0，则a≤0
C．∃a，b∈R，如果ab＜0，则a＜0
D．∃a，b∈R，如果ab≤0，则a≤0

5. 难度：中等

已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足：++=，若实数λ 满足：+=λ，则λ的值为（ ）
A．3
B．
C．2
D．8

6. 难度：中等

某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（ ）

A．f（x）=2
B．f（x）=x²+1
C．f（x）=tan
D．

7. 难度：中等

设点P是双曲线与圆x²+y²=a²+b²在第一象限的交点，F₁，F₂分别是双曲线的左、右焦点，且|PF₁|=2|PF₂|，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

定义运算a*，则函数f（x）=（sinx）*（cosx）的最小值为（ ）
A．
B．-1
C．0
D．1

9. 难度：中等

过点M（-2，0）的直线m与椭圆+y²=1交于P₁、P₂两点，线段P₁P₂的中点为P，设直线m的斜率为k₁（k≠0），直线OP的斜率为k₂，则k₁k₂的值为（ ）
A．2
B．-2
C．
D．-

10. 难度：中等

△ABC中，A、B、C对应边分别为a、b、c．若a=x，b=2，B=45°，且此三角形有两解，则x的取值范围为（ ）
A．（2，2）
B．2
C．（，+∞）
D．（2，2]

11. 难度：中等

设a∈R，函数f（x）=e^x+a•e^-x的导函数是f′（x），且f′（x）是奇函数．若曲线y=f（x）的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（ ）
A．ln2
B．-ln2
C．
D．

12. 难度：中等

从点P出发的三条射线PA，PB，PC两两成60°角，且分别与球O相切于A，B，C三点，若球的体积为，则OP两点之间的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．2

二、解答题

13. 难度：中等

展开式中，常数项是    ．

14. 难度：中等

用5种不同颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，共有    ．种不同的涂色方法．

15. 难度：中等

已知x，y满足线性约束条件：，若目标函数z=-x+my取最大值的最优解有无数个，则m=    ．

16. 难度：中等

一个几何体的三视图为如图所示的三个直角三角形，则这个几何体的体积为    ．

17. 难度：中等

某高中社团进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次是否开通“微博”的调查，若开通“微博”的称为“时尚族”，否则称为“非时尚族”，通过调查分别得到如图所示统计表和各年龄段人数频率分布直方图：

完成以下问题：
（Ⅰ）补全频率分布直方图并求n，a，p的值；
（Ⅱ）从[40，50）岁年龄段的“时尚族”中采用分层抽样法抽取18人参加网络时尚达人大赛，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40，45）岁的人数为X，求X的分布列和期望E（X）..

18. 难度：中等

如图，在棱长AB=AD=2，AA₁=3的长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是平面BCC₁B₁内动点，点F是CD的中点．
（Ⅰ）试确定E的位置，使D₁E⊥平面AB₁F；
（Ⅱ）求平面AB₁F与平面ABB₁A₁所成的锐二面角的大小．

19. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=8时，若对于∀x₁∈[1，4]，∃x₂∈R，使得f（x₁）≥g（x₂）成立，求实数k的取值范围．

20. 难度：中等

斜率为k（k＞0）的直线l过定点P（0，m）（m＞0），与抛物线x²=2py（p＞0）交于A，B两点，且A，B两点到y轴距离之差为4k．
（Ⅰ）求抛物线方程；
（Ⅱ）若此抛物线焦点为F，且有|AF|+|BF|=4k²+4，试求m的值；
（Ⅲ）过抛物线准线上任意一点Q作抛物线的两条切线，切点分别为M，N，试探究直线MN是否过定点，若过定点，求出定点的坐标．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求证：；
（Ⅲ）若，设数列{c_n}前n项和为T_n，求证：对n∈N^*，恒有．

22. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲
如图，PA切⊙O于点A，D为线段PA的中点，过点D引割线交⊙O于B，C两点．
求证：∠DPB=∠DCP．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点与直角坐标系xOy的坐标原点O重合，极轴与x轴的非负半轴重合．曲线C₁的参数方程为为参数），曲线C₂的极坐标方程为ρ=2cosθ+6sinθ．问曲线C₁，C₂是否相交，若相交请求出公共弦所在直线的方程，若不相交，请说明理由．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
对于任意实数a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a-2b|≥|a|（|x-1|+|x-2|）恒成立，试求实数x的取值范围．