2011年江苏省南通市启东中学高三数学考前辅导材料（1）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

设正项等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且2¹⁰S₃₀+S₁₀=（2¹⁰+1）S₂₀，则数列{a_n}的公比    ．

2. 难度：中等

如图，线段AB=8，点C在线段AB上，且AC=2，P为线段BC上的一动  点，点A绕点C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D，设CP=x，△PCD的面积为f（x），则f（x）的最大值为    ．

3. 难度：中等

有三个球和一个正方体，第一个球与正方体的各个面相切，第二个球与正方体的各条棱相切，第三个球过正方体的各个顶点，则这三个球的表面积之比为    ．

4. 难度：中等

将20个数平均分为两组，第一组的平均数为50，方差为33；第二组的平均数为40，方差为45，则整个数组的标准差是    ．

5. 难度：中等

直线x+a²y+1=0与直线（a²+1）x-by+3=0互相垂直，a、b∈R且ab≠0，则|ab|的最小值为    ．

6. 难度：中等

设点（a，b）在平面区域D={（a，b）||a|≤1，|b|≤1}中按均匀分布出现，则椭圆（a＞b＞0）的离心率e＜的概率为    ．

7. 难度：中等

如图伪代码运行输出的n的值是    ．

8. 难度：中等

在平面直角坐标系中，点集A={（ x，y）|x²+y²≤1}，B={（ x，y）|x≤4，y≥0，3x-4y≥0}，则点集Q={（ x，y）|x=x₁+x₂，y=y₁+y₂，（x₁，y₁）∈A，（x₂，y₂）∈B}所表示的区域的面积为    ．

9. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+（a-1）x²+3x+b的图象与x轴有三个不同交点，且交点的横坐标分别可作为抛物线、双曲线、椭圆的离心率，则实数a的取值范围是    ．

10. 难度：中等

直线y=kx与曲线y=e^|lnx|-|x-2|有3个公共点时，实数k的取值范围是    ．

11. 难度：中等

设周期函数f（x）是定义在R上的奇函数，若f（x）的最小正周期为3，且满足f（1）＞-2，f（2）=m-，则m的取值范围是    ．

12. 难度：中等

等差数列{a_n}的公差为d，关于x的不等式++c≥0的解集为[0，22]，则使数列{a_n}的前n项和S_n最大的正整数n的值是    ．

13. 难度：中等

如图在三角形ABC中，E为斜边AB的中点，CD⊥AB，AB=1，则的最大值是    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数，则k的值为    ．

15. 难度：中等

若关于x的不等式x²＜2-|x-a|至少有一个负数解，则实数a的取值范围是    ．

16. 难度：中等

已知函数，则“-2≤a≤0”是“f（x）在R上单调递增”的    条件．（填充分不必要、必要不充分或充要）

17. 难度：中等

已知cosα=，cos（α-β）=，且0＜α＜β＜，则β=    ．

18. 难度：中等

已知一组正数x₁，x₂，x₃，x₄的方差为，则数据x₁+2，x₂+2，x₃+2，x₄+2的平均数为    ．

19. 难度：中等

四面体A-BCD中，AB=CD=1，其余各棱长均为2，则V_A-BCD=_    ．

20. 难度：中等

如右图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin（ωx+φ）+B，（0≤φ＜2π），则温度变化曲线的函数解析式为     ．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|100x-1|，则当x=    时，f（x）取得最小值．

22. 难度：中等

在锐角△ABC中，∠A=2∠B，∠B，∠C的对边长分别是b，c，则的取值范围是    ．

23. 难度：中等

已知定义在R上的可导函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x）且y=f（x+1）为偶函数，f（2）=1，则不等式f（x）＜e^x的解集为    ．

24. 难度：中等

两圆x²+y²+2）和x²+y²-4）恰有三条公切线，则的最小值为    ．

25. 难度：中等

设定义在R上的函数f（x）满足对∀x，t∈R，且t≠0，都有t（f（x+t）-f（x））＞0，则{（x，y）|y=f（x）}∩{（x，y）|y=a}的元素个数为    ．

26. 难度：中等

已知l是△ABC的内心，AC=2，BC=3，AB=4，若=x+y，则x+y=    ．

27. 难度：中等

设正数数列{a_n}的前n项之和是b_n，数列{b_n}前n项之积是c_n，且b_n+c_n=1，则数列中最接近108的项是第    项．

28. 难度：中等

若，在区间上是增函数，则方程有且只有一解时p的取值范围是    ．

29. 难度：中等

若将函数f（x）=sinωx的图象向右平移个单位得到的图象，则|ω|的最小值为    ．

30. 难度：中等

已知P是椭圆上任意一点，EF是圆M：x²+（y-2）²=1的直径，则的最大值为    ．

31. 难度：中等

在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|为两点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）之间的“折线距离”．则圆x²+y²=1上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值是    ．

32. 难度：中等

设f（x）、g（x）分别是定义域在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f'（x）g（x）-f（x）g'（x）＞0且f（-3）=0，g（x）≠0，则不等式＜0的解集是    ．

33. 难度：中等

在直角坐标系中，过双曲线的左焦点F作圆x²+y²=1的一条切线（切点为T）交双曲线右支于P，若M为线段FP的中点，则OM-MT=    ．

34. 难度：中等

圆C：，与直线交于A，B两点，则直线AC与直线BC的倾斜角和为    ．

35. 难度：中等

已知三次函数在R上单调递增，则的最小值为    ．

36. 难度：中等

若函数，则    ．

37. 难度：中等

设定义在[a，b]（a≥-4）上的函数f（x），若函数与f（x）的定义域与值域都相同，则实数m的取值范围为    ．

38. 难度：中等

已知P为抛物线y²=4x上的动点，过P分别作y轴与直线x-y+4=0的垂线，垂足分别为A，B，则PA+PB的最小值为    ．

39. 难度：中等

在△ABC中，若AB=2，AC²+BC²=8，则△ABC面积的最大值为    ．

40. 难度：中等

已知实数p＞0，直线3x-4y+2p=0与抛物线x²=2py和圆从左到右的交点依次为A、B、C、D，则的值为    ．

41. 难度：中等

方程x²+-1=0的解可视为函数y=x+的图象与函数y=的图象交点的横坐标．若x⁴+ax-9=0的各个实根x₁，x₂，…，x_k（k≤4）所对应的点（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是    ．

42. 难度：中等

已知函数y=f（x），x∈D，若存在常数C，对∀x₁∈D，∃唯一的x₂∈D，使得，则称常数C是函数f（x）在D上的“翔宇一品数”．若已知函数，则f（x）在[1，3]上的“翔宇一品数”是    ．

43. 难度：中等

已知数列{a_n}的各项都是正整数，对于n=1，2，3…，有
若存在m∈N^*，当n＞m且a_n为奇数时，a_n恒为常数p，则p=    ．

44. 难度：中等

已知向量，，满足||=1，||=||，（）•（）=0．若对每一确定的，||的最大值和最小值分别为m，n，则对任意，m-n的最小值是    ．

45. 难度：中等

已知∠AOB=lrad，点A_l，A₂，…在OA上，B₁，B₂，…在OB上，其中的每一个实线段和虚线段氏均为1个单位，一个动点M从O点出发，沿着实线段和以O为圆心的圆弧匀速运动，速度为l单位/秒，则质点M到达A₁₀点处所需要的时间为     秒．

46. 难度：中等

有一个正四面体，它的棱长为a，现用一张圆型的包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小半径为    ．

47. 难度：中等

已知边长为的正△ABC，点D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC，以DE为折痕，把△ADE折起至△A'DE，使点A'在平面BCED上的射影H始终落在BC边上，记，则S的取值范围为    ．

48. 难度：中等

（填空题压轴题：考查函数的性质，字母运算等） 
设函数f（x）的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意x∈D，都有x+k∈D，且f（x+k）＞f（x）恒成立，则称函数f（x）为D上的“k型增函数”．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x-a|-2a，若f（x）为R上的“2011型增函数”，则实数a的取值范围是    ．

49. 难度：中等

根据程序设定，机器人在平面上能完成下列动作：从原点O出发，以匀速v（m/s）沿东偏北α（α为（0，）内的变量）方向或正北方向行走，且方向改变的时间不定．记机器人行走t（s）时的可能落点P的区域为Ω，则Ω的面积与（vt）²的比值为    ．

50. 难度：中等

设短轴长为是的椭圆C：和双曲线的离心率互为的倒数，过定圆E上面的每一个点都可以作两条互相垂直的直线l₁，l₂，且l₁，l₂与椭圆的公共点都只有一个的圆的方程为    ．

51. 难度：中等

已知，，且∥．设函数y=f（x）．
（1）求函数y=f（x）的解析式．
（2）若在锐角△ABC中，，边，求△ABC周长的最大值．

52. 难度：中等

在△ABC中，C-A=，cosB=．
（1）求sinA的值；
（2）设AB=6，求△ABC的面积．

53. 难度：中等

如图，正△ABC的边长为15，，．
（1）求证：四边形APQB为梯形；
（2）求梯形APQB的面积．

54. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知AD=4，，AB=2CD=8．
（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；
（Ⅱ）当M点位于线段PC什么位置时，PA∥平面MBD？
（Ⅲ）求四棱锥P-ABCD的体积．

55. 难度：中等

已知正三角形PAD所在的平面与直角梯形ABCD垂直，AB⊥AD，AB∥CD，且AD=DC=2，AB=4．求证：
（1）AB⊥PD
（2）求点C到平面PAD的距离
（3）在线段PD上是否存在一点M，使得AM∥平面PBC．

56. 难度：中等

口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1、2、3、4、5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
（1）求两个编号的和为6的概率；
（2）求甲赢的事件发生的概率．

57. 难度：中等

已知正四面体ABCD的棱长为3cm．
（1）已知点E是CD的中点，点P在△ABC的内部及边界上运动，且满足EP∥平面ABD，试求点P的轨迹；
（2）有一个小虫从点A开始按以下规则前进：在每一个顶点处等可能地选择通过这个顶点的三条棱之一，并且沿着这条棱爬到尽头，当它爬了12cm之后，求恰好回到A点的概率．

58. 难度：中等

如图，已知矩形ORTM内有5个全等的小正方形，其中顶点A、B、C、D在矩形ORTM的四条边上．
（1）若，求x+y的值；
（2）若矩形ORTM的边长OR=7，OM=8，试求小正方形的边长；
（3）现向矩形ORTM内任意投出一个点P，求点P落入五个小正方形内的概率．

59. 难度：中等

已知：矩形AEFD的两条对角线相交于点M（2，0），AE边所在直线的方程为：x-3y-6=0，点T（-1，1）在AD边所在直线上．
（1）求矩形AEFD外接圆P的方程．
（2）△ABC是⊙P的内接三角形，其重心G的坐标是（1，1），求直线BC的方程．

60. 难度：中等

已知A、B分别为曲线C：+y²=1（a＞0）与x轴的左、右两个交点，直线l过点B且与x轴垂直，P为l上异于点B的点，连接AP与曲线C交于点M．
（1）若曲线C为圆，M为圆弧的三等分点，试求点P的坐标；
（2）设N是以BP为直径的圆与线段BM的交点，若O、N、P三点共线，求a的值．

61. 难度：中等

如图，在直角坐标系中，中心在原点，焦点在X轴上的椭圆G的离心率为，左顶点A（-4，0），圆O'：（x-2）²+y²=r²是椭圆G的内接△ABC的内切圆．
（Ⅰ） 求椭圆G的方程；
（Ⅱ）求圆O'的半径r；
（Ⅲ）过M（0，1）作圆G的两条切线交椭圆于E，F两点，判断直线EF与圆O'的位置关系，并证明．

62. 难度：中等

已知：函数f（x）=ax²-2x+1．
（1）若≤a≤1，且f（x）在[1，3]上的最大值为M （a），最小值为N （a），令g（a）=M（a）-N （a），求g（a）的表达式；
（2）在（1）的条件下，求证：g（a）≥；
（3）设a＞0，证明对任意的x₁，x₂∈[，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥a（x₁-x₂）．

63. 难度：中等

已知函数f（x）=x-ln（x+a）在x=1处取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的方程f（x）+2x=x²+b在[，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；
（3）证明：
（参考数据：ln2≈0.6931）

64. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+bx+c（b，c∈R），并设，
（1）若F（x）图象在x=0处的切线方程为x-y=0，求b、c的值；
（2）若函数F（x）是（-∞，+∞）上单调递减，则
①当x≥0时，试判断f（x）与（x+c）²的大小关系，并证明之；
②对满足题设条件的任意b、c，不等式f（c）-Mc²≤f（b）-Mb²恒成立，求M的取值范围．

65. 难度：中等

若正数数列{a_n}满足，其中S_n是数列{a_n}的前n项和．
（1）求S_n；
（2）若，是否存在b_k=b_m（k≠m）？若存在，求出所有相等的两项；若不存在，说明理由．

66. 难度：中等

过曲线C：y=x³上的点P₁（x₁，y₁）作曲线C的切线l₁与曲线C交于点P₂（x₂，y₂），过点P₂作曲线C的切线l₂与曲线C交于点，依此类推，可得到点列：P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），…，P_n（x_n，y_n），…，已知x₁=1．
（1）求点P₂、P₃的坐标；
（2）求数列{x_n}的通项公式；
（3）记点P_n到直线l_n+1（即直线P_n+1P_n+2）的距离为d_n，求证：．

67. 难度：中等

如图，在矩形地块ABCD中有两条道路AF，EC，其中AF是以A为顶点的抛物线段，EC是线段．AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km．在两条道路之间计划修建一个花圃，花圃形状为直角梯形QPRE（线段EQ和RP为两个底边，如图所示）．求该花圃的最大面积．

68. 难度：中等

某商店经销一种奥运会纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元（a为常数，2≤a≤5 ）的税收．设每件产品的售价为x元（35≤x≤41），根据市场调查，日销售量与e^x（e为自然对数的底数）成反比例．已知每件产品的日售价为40．
元时，日销售量为10件．
（1）求该商店的日利润L（x）元与每件产品的日售价x元的函数关系式；
（2）当每件产品的日售价为多少元时，该商品的日利润L（x）最大，并求出L（x）的最大值．

69. 难度：中等

2010年上海世博会大力倡导绿色出行，并提出在世博园区参观时可以通过植树的方式来抵消因出行产生的碳排放量．某游客非常支持这一方案，计划在游园期间种植n棵树，已知每棵树是否成活互不影响，成活率为p（0＜p＜1），设ξ表示他所种植的树中成活的棵数，ξ的数学期望为Eξ，方差为Dξ．
（1）若n=1，求Dξ的最大值；
（2）已知Eξ=3，标准差▱ξ=，求n，p的值并写出ξ的分布列．

70. 难度：中等

已知抛物线G的顶点在原点，焦点在y轴正半轴上，点P（m，4）到其准线的距离等于5．
（I）求抛物线G的方程；
（II）如图，过抛物线G的焦点的直线依次与抛物线G及圆x²+（y-1）²=1交于A、C、D、B四点，试证明|AC|•|BD|为定值；
（III）过A、B分别作抛物G的切线l₁，l₂且l₁，l₂交于点M，试求△ACM与△BDM面积之和的最小值．

71. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD中PA⊥平面ABCD，且PA=4PQ=4，底面为直角梯形，
∠CDA=∠BAD=90°，，M，N分别是PD，PB的中点．
（1）求证：MQ∥平面PCB；
（2）求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小；
（3）求点A到平面MCN的距离．

72. 难度：中等

已知f_n（x）=（1+x）ⁿ．
（1）若f₁₁（x）=a+a₁x+a₂x²+…+a₁₁x¹¹，求a₁+a₃+…+a₁₁的值；
（2）若g（x）=f₆（x）+2f₇（x）+3f₈（x），求g（x）中含x⁶项的系数；
（3）证明：．

73. 难度：中等

已知n是不小于3的正整数，，．
（1）求a_n，b_n；
（2）设，求证：．

74. 难度：中等

已知f（x）=（1+x）^α（1+）^β（α，β，x∈R⁺），
（1）求f（x）的最小值；
（2）如果y＞0，求证：（）^α+β≤（）^α•（）^β；
（3）如果α₁，α₂，…α_n，β₁，β₂，…β_n＞0，求证：（）^{α1+α2+…+αn}≤（）^α1•（）^α2…（）^αn．