2011年江苏省高考数学权威预测试卷（1）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

设复数z₁=2+i，z₂=x-2i（x∈R），若z₁•z₂为实数，则x为    ．

2. 难度：中等

（∁_RN^*）∩N=    ．

3. 难度：中等

半径为1的半球的表面积为    ．

4. 难度：中等

“y=cosx是周期函数”写成三段论是：
大前提：三角函数都是周期函数
小前提：    ．
结  论：函数y=cosx是周期函数．

5. 难度：中等

若某程序框图如所示，则该程序运作后输出的y等于    ．

6. 难度：中等

在锐角△ABC中，∠A=2∠B，∠B，∠C的对边长分别是b，c，则的取值范围是    ．

7. 难度：中等

若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是    ．

8. 难度：中等

已知各项均为正数的等比数列=的最小值为    ．

9. 难度：中等

已知定义在R上的可导函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x）且y=f（x+1）为偶函数，f（2）=1，则不等式f（x）＜e^x的解集为    ．

10. 难度：中等

两圆x²+y²+2）和x²+y²-4）恰有三条公切线，则的最小值为    ．

11. 难度：中等

设定义在R上的函数f（x）满足对∀x，t∈R，且t≠0，都有t（f（x+t）-f（x））＞0，则{（x，y）|y=f（x）}∩{（x，y）|y=a}的元素个数为    ．

12. 难度：中等

设点（a，b）在平面区域D={（a，b）||a|≤1，|b|≤1}中按均匀分布出现，则椭圆（a＞b＞0）的离心率e＜的概率为    ．

13. 难度：中等

已知l是△ABC的内心，AC=2，BC=3，AB=4，若=x+y，则x+y=    ．

14. 难度：中等

已知数列{a_n}的各项都是正整数，对于n=1，2，3…，有
若存在m∈N^*，当n＞m且a_n为奇数时，a_n恒为常数p，则p=    ．

15. 难度：中等

如图，正△ABC的边长为15，，．
（1）求证：四边形APQB为梯形；
（2）求梯形APQB的面积．

16. 难度：中等

如图，已知正四面体ABCD的棱长为3cm．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）已知点E是CD的中点，点P在△ABC的内部及边界上运动，且满足EP∥平面ABD，试求点P的轨迹；
（3）有一个小虫从点A开始按以下规则前进：在每一个顶点处等可能地选择通过这个顶点的三条棱之一，并且沿着这条棱爬到尽头，当它爬了12cm之后，求恰好回到A点的概率．

17. 难度：中等

在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处（-1）海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°的方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间．

18. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0的圆M的内接四边形ABCD的对角线AC和BD互相垂直，且AC和BD分别在x轴和y轴上．
（1）求证：F＜0；
（2）若四边形ABCD的面积为8，对角线AC的长为2，且=0，求D²+E²-4F的值；
（3）设四边形ABCD的一条边CD的中点为G，OH⊥AB且垂足为H．试用平面解析几何的研究方法判断点O、G、H是否共线，并说明理由．

19. 难度：中等

定义：对于任意n∈N^*，满足条件且a_n≤M（M是与n无关的常数）的无穷数列a_n称为T数列．
（1）若a_n=-n²+9n（n∈N^*），证明：数列a_n是T数列；
（2）设数列b_n的通项为，且数列b_n是T数列，求常数M的取值范围；
（3）设数列（n∈N^*，p＞1），问数列b_n是否是T数列？请说明理由．

20. 难度：中等

对于正整数a，b，存在唯一一对整数q和r，使得a=bq+r，0≤r＜b．特别地，当r=0时，称b能整除a，记作b|a，已知A={1，2，3，…，23}．
（Ⅰ）存在q∈A，使得2011=91q+r（0≤r＜91），试求q，r的值；
（Ⅱ）求证：不存在这样的函数f：A→{1，2，3}，使得对任意的整数x₁，x₂∈A，若|x₁-x₂|∈{1，2，3}，则f（x₁）≠f（x₂）；
（Ⅲ）若B⊆A，card（B）=12（card（B）指集合B 中的元素的个数），且存在a，b∈B，b＜a，b|a，则称B为“和谐集”．求最大的m∈A，使含m的集合A的有12个元素的任意子集为“和谐集”，并说明理由．