2008-2009学年四川省成都七中高三数学专项训练：反函数到奇偶性（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

求下列函数的反函数 （1）；（2）y=x|x|+2x；（3）；（4）y=x³-3x²+3x+1；（5）y=log₂（x²+1）（x＜0）

2. 难度：中等

若函数y=（x≠-，x∈R）的图象关于直线y=x对称，求a的值．

3. 难度：中等

若（2，1）既在的图象上，又在它反函数图象上，求m，n的值．

4. 难度：中等

设函数，又函数g（x）与y=f^-1（x+1）的图象关于y=x对称，求g（2）的值．

5. 难度：中等

已知，是R上的奇函数．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的反函数；
（3）对任意的k∈（0，+∞）解不等式．

6. 难度：中等

已知函数f（x）=3^x-1的反函数y=f^-1（x），g（x）=log₉（3x+1）
（Ⅰ）求不等式f^-1（x）≤g（x）的解集D；
（Ⅱ）设函数，当x∈D时，求H（x）的值域．

7. 难度：中等

已知函数y=f（x）（定义域为A、值域为B）有反函数y=f^-1（x），则方程f（x）=0有解x=a，且f（x）＞x（x∈A）的充要条件是y=f^-1（x）满足    ．

8. 难度：中等

若函数f（x）的图象经过（0，-1），则函数y=f（x+4）的反函数的图象经过点的坐标是______．

9. 难度：中等

设a＞0且a≠1，（x≥1）
（1）求函数f（x）的反函数f^-1（x）及其定义域．（2）若，求a的取值范围．

10. 难度：中等

已知f（x）=，若函数y=g（x）的图象与y=f^-1（x）+1的图象关于直线y=x对称，则g（3）=    ．

11. 难度：中等

已知二次函数的对称轴为，截x轴上的弦长为4，且过点（0，-1），求函数的解析式．

12. 难度：中等

若m，n是关于x的方程x²-2ax+a+6=0的两个实根，则（m-1）²+（n-1）²的最小值是    ．

13. 难度：中等

已知函数的最大值为2，求a的值．

14. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-（2a-1）x+a²-2与非负x轴至少有一个交点，求a的取值范围．

15. 难度：中等

已知二次函数f（x）=x²+bx+c（b、c∈R），不论α、β为何实数，恒有f（sinα）≥0，f（2+cosβ）≤0．
（1）求证：b+c=-1；
（2）求证：c≥3；
（3）若函数f（sinα）的最大值为8，求b、c的值．

16. 难度：中等

设f（x）=ax²+bx+c（a＞b＞c），f（1）=0，g（x）=ax+b．
（1）求证：函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个交点；
（2）设f（x）与g（x）的图象交点A、B在x轴上的射影为A₁、B₁，求|A₁B₁|的取值范围；
（3）求证：当x≤-时，恒有f（x）＞g（x）．

17. 难度：中等

设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，g（x）的图象与f（x）的图象关于直线x=1对称，而当x∈[2，3]时，g（x）=-x²+4x+c（c为常数）．
（1）求f（x）的表达式
（2）对于任意x₁，x₂∈[0，1]且x₁≠x₂，求证：|f（x₂）-f（x₁）|＜2|x₂-x₁|．

18. 难度：中等

设函数f（x）=|x-a|-ax，其中0＜a＜1为常数
（1）解不等式f（x）＜0；
（2）试推断函数f（x）是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，说明理由．

19. 难度：中等

设方程x²-mx+1=0两根为α，β，且0＜α＜1，1＜β＜2，则实数m的取值范围是    ．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=lg（x²-2mx+m+2）
（1）若f（x）的定义域为R，求实数m的取值范围；
（2）若f（x）的值域为R，求实数m的取值范围．

21. 难度：中等

线段AB的两个端点分别为A（3，0），B（0，3），若抛物线y=x²-2ax+a²+1与线段AB有两个不同交点，试求实数a的取值范围．

22. 难度：中等

计算：（1）；
（2）（lg2）²+lg2•lg50+lg25；
（3）（log₃2+log₉2）•（log₄3+log₈3）．

23. 难度：中等

已知，求的值．

24. 难度：中等

已知3^a=5^b=c，且，求c的值．

25. 难度：中等

设x＞1，y＞1，且2log_xy-2log_yx+3=0，求T=x²-4y²的最小值．

26. 难度：中等

（1）若a²＞b＞a＞1，则，log_ba，log_ab从小到大依次为______；
（2）若2^x=3^y=5^z，且x，y，z都是正数，则2x，3y，5z从小到大依次为______；
（3）设x＞0，且a^x＜b^x＜1（a＞0，b＞0），则a，b和1的大小关系为______．

27. 难度：中等

1、已知函数（a＞1），
求证：（1）函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数；
（2）方程f（x）=0没有负数根．

28. 难度：中等

已知函数f（x）=log_a（a^x-1）（a＞0且a≠1）．求证：
（1）函数f（x）的图象在y轴的一侧；
（2）函数f（x）图象上任意两点连线的斜率都大于0．

29. 难度：中等

若f（x）=log_a（2-ax）在[0，1]上是减函数，则a的取值范围是    ．

30. 难度：中等

已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足：
（1）对于任意x∈[0，1]，总有f（x）≥0；（2）f（1）=1
（3）若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，则有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）
（Ⅰ）试求f（0）的值；
（Ⅱ）试求函数f（x）的最大值；
（Ⅲ）试证明：满足上述条件的函数f（x）对一切实数x，都有f（x）≤2x．

31. 难度：中等

设曲线C的方程是y=x³-x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C₁．
（1）写出曲线C₁的方程；
（2）证明曲线C与C₁关于点A（，）对称；
（3）如果曲线C与C₁有且仅有一个公共点，证明s=-t且t≠0．

二、选择题

32. 难度：中等

下列每组两个函数的图象中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

33. 难度：中等

已知函数f（x）=（a＞0，a≠1），在同一坐标系中，y=f^-1（x）与y=a^|x-1|的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

34. 难度：中等

二次函数y=ax²+bx与指数函数的图象只可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

35. 难度：中等

已知函数y=与y=ax²+bx，则下列图象正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

36. 难度：中等

函数y=的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

三、解答题

37. 难度：中等

若f（x）在定义域（-1，1）内可导，且f′（x）＜0；又当a、b∈（-1，1）且a+b=0时，f（a）+f（b）=0，解不等式f（1-m）+f（1-m²）＞0．

38. 难度：中等

函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x₁、x₂∈D，有f=f（x₁）+f（x₂）．
（1）求f（1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x-6）≤3，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围．

39. 难度：中等

已知函数f（x）满足：f（a+b）=f（a）•f（b），f（1）=2，则+++=    ．

40. 难度：中等

已知a，b，c为正整数，方程ax²+bx+c=0的两实根为x₁，x₂（x₁≠x₂），且|x₁|＜1，|x₂|＜1，则a+b+c的最小值为    ．

41. 难度：中等

已知函数f（x）=lg[（a²-1）x²+（a+1）x+1]
（1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）若f（x）的值域为R，求实数a的取值范围．

42. 难度：中等

设不等式2x-1＞m（x²-1）对满足条件|m|≤2的一切实数m都恒成立，求实数x的取值范围．

43. 难度：中等

已知x∈R，奇函数f（x）=x³-ax²-bx+c在[1，+∞）上单调．
（1）求字母a，b，c应满足的条件；
（2）设x≥1，f（x）≥1，且满足f[f（x）]=x，求证：f（x）=x．

44. 难度：中等

设f（x）=lg，如果当x∈（-∞，1]时f（x）有意义，求实数a的取值范围．

45. 难度：中等

已知偶函数f（x）=cosθsinx-sin（x-θ）+（tanθ-2）sinx-sinθ的最小值是0，求f（x）的最大值及此时x的集合．