2009年四川省成都市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合P={x|x²-2x+1=0，x∈R}，则集合P的子集个数是（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8

2. 难度：中等

化简复数i³-的结果是（ ）
A．-2i
B．2i
C．0
D．-1-i

3. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域为[0，1），则函数f（1-x）的定义域为（ ）
A．[0，1）
B．（0，1]
C．[-1，1]
D．[-1，0）∪（0，1]

4. 难度：中等

函数f（x）=的图象为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

在△ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C所对边的长，若bsinA=asinC，则△ABC的形状（ ）
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰直角三角形

6. 难度：中等

已直数列{a_n}的前n项和为S_n，若，则S₂₀₀₉的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知过原点的动圆c与直线l：x-y-4=0相切，且当动圆C面积最小时，圆的方程是（ ）
A．（x-1）²+（y+1）²=4
B．（x-1）²+（y+1）²=2
C．（x+1）²+（y-1）²=4
D．（x+1）²+（y-1）²=2

8. 难度：中等

已知三棱锥P-ABC中，PA、PB、PC两两垂直，PA=PB=2PC=2a，且三棱锥外接球的表面积为S=9π，则实数a的值为（ ）
A．
B．2
C．1
D．

9. 难度：中等

为支援地震灾区的灾后重建工作，四川某公司决定分四天每天各运送一批物资到A、B、C、D、E五个受灾点，由于A地距离该公司较近，安排在第一天或最后一天送达；B、C两地相邻，安排在同一天上、下午分别送达（B在上午、C在下午与B在下午、C在上午为不同运送顺序），且运往这两地的物资算作一批；D、E两地可随意安排在其余两天送达．则安排这四天送达五个受灾地点的不同运送顺序种数共有（ ）
A．72种
B．18种
C．36种
D．24种

10. 难度：中等

将函数f（x）=sinxcosx-cos²x+的图象按向量a平移后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）为奇函数，则符合条件的一个向量a可以是（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知曲线y=2sinx与曲线y=ax²+bx+的一个交点P的横坐标为，且两曲线在交点P处的切线与两坐标轴围成的四边形恰好有外接圆，则a与b的值分别为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

过双曲线的左焦点F（-c，0）（c＞0）作圆x²+y²=a²的切线，切点为E，延长FE交抛物线y²=4cx于点P．若，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

13. 难度：中等

若函数f（x）=1+c₈¹x+c₈²x²+…+c₈⁸x⁸（x∈R），则log₂f（3）=    ．

14. 难度：中等

与抛物线y²=2x关于点（-1，0）对称的抛物线方程是    ．

15. 难度：中等

若关于x的方程x²-3x=m-2在[0，2]上有两个不同实数解，则实数m的取值范围是    ．

16. 难度：中等

已知空间向量，，，O为坐标原点，给出以下结论：①以OA、OB为邻边的平行四边形OACB中，当且仅当k=2时，取得最小值；②当k=2时，到A和点B等距离的动点P（x，y，z）的轨迹方程为4x-2y-5=0，其轨迹是一条直线；③若，则三棱锥O-ABP体积的最大值为；④若=（0，0，1），则三棱锥O-ABP各个面都为直角三角形的概率为．其中，所有正确结论的应是    ．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，|φ|＜），且f（）=-A．
（I）求φ的值；
（Ⅱ）若f（α）=，f（β+）=且，求cos（2α+2β-）的值．

18. 难度：中等

如图的多面体是底面为平行四边形的直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，经平面AEFG所截后得到的图形．其中∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2，∠BAD=60°．
（1）求证：BD⊥平面ADG．
（2）求平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．

19. 难度：中等

质检部门将对12个厂家生产的婴幼儿奶粉进行质量抽检，若被抽检厂家的奶粉经检验合格，则该厂家的奶粉即可投放市场；若检验不合格，则该厂家的奶粉将不能投放市场且作废品处理．假定这12个厂家中只有2个厂家的奶粉存在质量问题（即检验不能合格），但不知道是哪两个厂家的奶粉．
（I）从中任意选取3个厂家的奶粉进行检验，求至少有2个厂家的奶粉检验合格的概率；
（Ⅱ）每次从中任意抽取一个厂家的奶粉进行检验（抽检不重复），记首次抽检到合格奶粉时已经检验出奶粉存在质量问题的厂家个数为随即变量ξ，求ξ的分布列及数学期望．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=-x³+x²+b，g（x）=，其中x∈R
（I）当时，若函数为R上的连续函数，求F（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=-1时，若对任意x₁，x₂∈[1，2]，不等式g（x₁）＜f（x₂）恒成立，求实数b的取值范围．

21. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，Rt△ABC的斜边BC恰在x轴上，点B（-2，0），C（2，0）且AD为BC边上的高．
（I）求AD中点G的轨迹方程；
（Ⅱ）若一直线与（I）中G的轨迹交于两不同点M、N，且线段MN恰以点（-1，）为中点，求直线MN的方程；
（Ⅲ）若过点（1，0）的直线l与（I）中G的轨迹交于两不同点P、Q试问在x轴上是否存在定点E（m，0），使恒为定值λ？若存在，求出点E的坐标及实数λ的值；若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=，a₂=且当n≥2，n∈N时，3a _n+1=4a-a _n-1
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记 ai=a₁•a₂•a₃…a_n，n∈N^*
（1）求极限 （2-2 _i-1）
（2）对一切正整数n，若不等式λ a_i＞1（λ∈N^*）恒成立，求λ的最小值．