2008年四川省成都市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设复数z=1+bi（b∈R）在复平面对应的点为Z，若（O为复平面原点），则复数z的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．±1

2. 难度：中等

化简的结果为（ ）
A．-
B．
C．tanθ
D．

3. 难度：中等

当前，国家正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张问题，已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户，若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，先采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为（ ）
A．40
B．30
C．20
D．36

4. 难度：中等

夹在两条平行线l₁：3x-4y=0与l₂：3x-4y-20=0之间的圆的最大面积为（ ）
A．2π
B．4π
C．8π
D．16π

5. 难度：中等

若等比数列{a_n}的前n项和为S_n=3（）ⁿ+m（n∈N^*），则实数m的取值为（ ）
A．-
B．-1
C．-3
D．一切实数

6. 难度：中等

已知a、b表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若α∥β，a∥α，b∥β，则a∥b
B．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β
C．若α∩β=a，a∥b，则b∥α或b∥β
D．若a⊂α，b⊂β，a∩b=P，则α∩β=a或α∩β=b

7. 难度：中等

在△ABC中，若•=1，•=-2，则||的值为（ ）
A．1
B．3
C．
D．

8. 难度：中等

已知函数f（x）=log_a（+bx） （a＞0且a≠1），则下列叙述正确的是（ ）
A．若a=，b=-1，则函数f（x）为R上的增函数
B．若a=，b=-1，则函数f（x）为R上的减函数
C．若函数f（x）是定义在R上的偶函数，则b=±1
D．若函数f（x）是定义在R上的奇函数，则b=1

9. 难度：中等

如图，已知边长为2的正三角形ABC中线AF与中位线DE相交于点G，将此三角形沿DE折成二面角A₁-DE-B，设二面角A₁-DE-B的大小为θ，则当异面直线A₁E与BD的夹角为60°时，cosθ的值为（ ）

A．-
B．
C．-
D．

10. 难度：中等

已知函数f（x）=cos（x+θ），θ∈R，若=1，则函数f（x）的解析式为（ ）
A．f（x）=-sin
B．f（x）=-cos
C．f（x）=sin
D．f（x）=cos

11. 难度：中等

已知P是椭圆+=1上的一点，F₁、F₂是该椭圆的两个焦点，若△PF₁F₂的内切圆半径为，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．0

12. 难度：中等

已知全集U，集合A、B为U的两个非空子集，若“x∈A”y与“x∈B”是一对互斥事件，则称A与B为一组U（A，B），规定：U（A，B）≠U（B，A）．当集合U={1，2，3，4，5}时，所有的U（A，B）的组数是（ ）
A．70
B．30
C．180
D．150

二、解答题

13. 难度：中等

求和：1-C₁₀¹3+C₁₀²3²-C₁₀³3³+…+C₁₀¹⁰3¹⁰=    ．

14. 难度：中等

设关于x的方程x²+ax-2=0的两根为x₁、x₂，当x₁＜1＜x₂时，实数a的取值范围是    ．

15. 难度：中等

连续抛掷一枚骰子两次，得到的点数依次记为m、n，则点（m，n）恰能落在不等式组所表示的区域内的概率为    ．

16. 难度：中等

设定义域为[x₁，x₂]的函数y=f（x）的图象为C，图象的两个端点分别为A、B，点O为坐标原点，点M是C上任意一点，向量=（x₁，y₁），=（x₂，y₂），=（x，y），满足x=λx₁+（1-λ）x₂（0＜λ＜1），又有向量=λ+（1-λ），现定义“函数y=f（x）在[x₁，x₂]上可在标准k下线性近似”是指||≤k恒成立，其中k＞0，k为常数．根据上面的表述，给出下列结论：
①A、B、N三点共线；
②直线MN的方向向量可以为=（0，1）；
③“函数y=5x²在[0，1]上可在标准1下线性近似”；
④“函数y=5x²在[0，1]上可在标准下线性近似”．
其中所有正确结论的番号为    ．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=sinωxcosωx-cos²ωx+（ω＞0，x∈R）的最小正周期为．
（1）求f（）的值，并写出函数f（x）的图象的对称中心的坐标；
（2）当x∈[，]时，求函数f（x）的单调递减区间．

18. 难度：中等

如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁⊥侧面ABB₁A₁，AC=AB=，∠CAA₁=∠BAA₁=135°．
（1）求∠BAC的大小；
（2）若底面△ABC的重心为G，侧棱AA₁=4，求GC₁与平面A₁B₁C₁所成角的大小．

19. 难度：中等

（新华网）反兴奋剂的大敌、服药者的宠儿--HGH（人体生长激素），有望在8月的北京奥运会上首次“伏法”．据悉，国际体育界研究近10年仍不见显著成效的HGH检测，日前已取得新的进展，新生产的检测设备有希望在北京奥运会上使用．若组委会计划对参加某项田径比赛的120名运动员的血样进行突击检查，采用如下化验
方法：将所有待检运动员分成若干小组，每组m个人，再把每个人的血样分成两份，化验时将每个小组内的m个人的血样各一份混合在一起进行化验，若结果中不含HGH成分，那么该组的m个人只需化验这一次就算检验合格；如果结果中含有HGH成分，那么需要对该组进行再次检验，即需要把这m个人的另一份血样逐个进行化验，才能最终确定是否检验合格，这时，对这m个人一共需要进行m+1次化验．假定对所有人来说，化验结果中含有HGH成分的概率均为．当m=3时，
（1）求一个小组只需经过一次检验就合格的概率；
（2）设一个小组的检验次数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}和等比数列{b_n}满足：a₁=b₁=4，a₂=b₂=2，a₃=1，且数列{a_n+1-a_n}是等差数列，n∈N^*，
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）问是否存在k∈N^*，使得？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

过抛物线x²=2y上两点A（-1，）、B（2，2）分别作抛物线的切线，两条切线交于点M．
（1）求证：∠BAM=∠BMA；
（2）记过点A、B且中心在坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线为C，F₁、F₂为C的两个焦点，B₁、B₂为C的虚轴的两个端点，过点B₂作直线PQ分别交C的两支于P、Q，当∈（0，4]时，求直线PQ的斜率k的取值范围．

22. 难度：中等

定义在（0，+∞）的函数，其中e=2.71828…是自然对数的底数，a∈R．
（1）若函数f（x）在点x=1处连续，求a的值；
（2）若函数f（x）为（0，1）上的单调函数，求实数a的取值范围，并判断此时函数f（x）在（0，+∞）上是否为单调函数；
（3）当x∈（0，1）时，记g（x）=lnf（x）+x²-ax，试证明：对n∈N^*，当n≥2时，有．