2011年湖北省武汉市武昌区高三元月调考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

i是虚数单位，若（a+bi）（1+i）=1+2i，a，b∈R，则a+b的值是（ ）
A．
B．-2
C．2
D．

2. 难度：中等

等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且4a₁，2a₂，a₃成等差数列．若a₁=1，则S₄=（ ）
A．7
B．8
C．15
D．16

3. 难度：中等

设集合，则集合M∪N=（ ）
A．（-∞，0）∪[1，+∞）
B．（-∞，1]
C．[0，+∞）
D．（-∞，0）∪（0，1）

4. 难度：中等

已知函数，其中x∈R，则下列结论中正确的是（ ）
A．f（x）是最小正周期为π的偶函数
B．f（x）的一条对称轴是
C．f（x）的最大值为2
D．将函数的图象左移得到函数f（x）的图象

5. 难度：中等

二项式展开式中的常数项是第几项（ ）
A．11
B．12
C．13
D．14

6. 难度：中等

直线y=k（x-2）交抛物线y²=8x于A、B两点，若AB中点的横坐标为3，则弦AB的长为（ ）
A．6
B．10
C．
D．16

7. 难度：中等

已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

8. 难度：中等

如果随机变量ξ～N（μ，σ²），则P（μ-σ＜ξ＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜ξ＜μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜ξ＜μ+3σ）=0.9974．已知随机变量x～N（3，1），则P（4＜ξ＜5）=（ ）
A．0.0430
B．0.2718
C．0.0215
D．0.1359

9. 难度：中等

如图，已知点P是圆上的一个动点，点Q是直线l：x-y=0上的一个动点，O为坐标原点，则向量上的投影的最大值是（ ）

A．3
B．
C．
D．1

10. 难度：中等

过三棱柱任意两个顶点作直线，在所有这些直线中任取其中两条，则它们成为异面直线的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

11. 难度：中等

函数的定义域为    ．

12. 难度：中等

已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，标准差是，则xy=    ．

13. 难度：中等

如图，从∠BAC的边上一点B作BC⊥AC，从C作CD⊥AB，从D再作DE⊥AC，这样无限进行下去，已知BC=5cm，CD=4cm，则这些垂线段长的和是    cm．

14. 难度：中等

已知一次函数f（x）=kx+b（k，b∈R），若-1＜f（1）＜4，2＜f（-1）＜3，则的取值范围是    ．

15. 难度：中等

已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：
（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；
（2）当x∈（1，2]时f（x）=2-x给出结论如下：
①任意m∈Z，有f（2^m）=0；
②函数f（x）的值域为[0，+∞）；
③存在n∈Z，使得f（2ⁿ+1）=9；
④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2^k，2^k-1）．
其中所有正确结论的序号是    

16. 难度：中等

在△ABC中，内角A、B、C对边长分别是a，b，c，已知c=2，C=
（I）若△ABC的面积等于；
（II）若sinC+sin（B-A）=2sin2A，求△ABC的面积．

17. 难度：中等

圆柱型金属饮料罐的容积V一定时，它的高h与底面半径R具有怎样的关系时，才能使所用材料最省？

18. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，BC=2AB=2PA．点M在侧棱PC上，且CM=2MP．
（I）求直线AM与平面PCD所成角的正弦值；
（II）求二面角B-PC-D的大小．

19. 难度：中等

已知点M（x，y）与点A₁（-1，0），A₂（1，0）连线的斜率之积为3．
（I）求点M的轨迹方程；
（II）是否存在点M（x，y）（x＞1），使M（x，y）到点B（-2，0）和点C（0，2）的距离之和最小？若存在，求出点M（x，y）的坐标；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

已知正实数数列{a_n}的前n项和为S_n，4S_n=a_n²+2a_n-3对于一切n∈N^*成立．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设项和，求使T_n＜c恒成立的最小正整数c．

21. 难度：中等

设函数f（x）=x²+bln（x+1）．
（I）若对定义域内的任意x，都有f（x）≥f（1）成立，求实数b的值；
（II）若函数f（x）的定义域上是单调函数，求实数b的取值范围；
（III）若b=-1，证明对任意的正整数n，不等式成立．