2010年江苏省南京市高考数学三模试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

设集合A={x|x²-2x≤0，x∈R}，则集合A∩Z中有    个元素．

2. 难度：中等

某城市有大学20所，中学200所，小学480所．现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为70的样本进行某项调查，则应抽取的中学数为     ．

3. 难度：中等

设复数=a+bi（a，b∈R，i是虚数单位），则a+b的值是    ．

4. 难度：中等

下图给出了一个算法的流程图，若输入a=-1，b=2，c=0，则输出的结果是    ．

5. 难度：中等

在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是     ．

6. 难度：中等

函数的值域是     ．

7. 难度：中等

已知圆锥的母线长为2，高为，则该圆锥的侧面积是     ．

8. 难度：中等

如果log₂x+log₂y=1，则x+2y的最小值是    ．

9. 难度：中等

已知都是单位向量，，则||=    ．

10. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，双曲线的左准线为l，则以l为准线的抛物线的标准方程是     ．

11. 难度：中等

设直线y=-3x+b是曲线y=x³-3x²的一条切线，则实数b的值是    ．

12. 难度：中等

如图，平面四边形ABCD中，∠A=60°，AD⊥CD，DB⊥BC，AB=2，BD=4，则CD=    ．

13. 难度：中等

对函数f（x）=xsinx，现有下列命题：
①函数f（x）是偶函数；
②函数f（x）的最小正周期是2π；
③点（π，0）是函数f（x）的图象的一个对称中心；
④函数f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减．
其中是真命题的是     （写出所有真命题的序号）．

14. 难度：中等

正整数按下列方法分组：{1}，{2，3，4}，{5，6，7，8，9}，{10，11，12，13，14，15，16}，…记第n组中各数之和为A_n；由自然数的立方构成下列数组：{0³，1³}，{1³，2³}，{2³，3³}，{3³，4³}，…记第n组中后一个数与前一个数的差为B_n，则A_n+B_n=    ．

15. 难度：中等

已知A为锐角，，求cos2A及tanB的值．

16. 难度：中等

如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，AC⊥CD，E是AA₁上的一点．
（1）求证：CD⊥平面ACE；
（2）若平面CBE交DD₁于点F，求证：EF∥AD．

17. 难度：中等

某品牌茶壶的原售价为80元/个，今有甲、乙两家茶具店销售这种茶壶，甲店用如下方法促销：如果只购买一个茶壶，其价格为78元/个；如果一次购买两个茶壶，其价格为76元/个；…，一次购买的茶壶数每增加一个，那么茶壶的价格减少2元/个，但茶壶的售价不得低于44元/个；乙店一律按原价的75%销售．现某茶社要购买这种茶壶x个，如果全部在甲店购买，则所需金额为y₁元；如果全部在乙店购买，则所需金额为y₂元．
（1）分别求出y₁、y₂与x之间的函数关系式；
（2）该茶社去哪家茶具店购买茶壶花费较少？

18. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，点A为椭圆的左顶点，椭圆上的点P在第一象限，PF₁⊥PF₂，⊙O的方程为x²+y²=4
（1）求点P坐标，并判断直线PF₂与⊙O的位置关系；
（2）是否存在不同于点A的定点B，对于⊙O上任意一点M，都有为常数，若存在，求所以满足条件的点B的坐标；若不存在，说明理由．

19. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+a_n+1=3ⁿ．设
（1）求证：数列{b_n}是等比数列
（2）求数列{a_n}的前n项的和
（3）设，求证：T_2n＜3．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=mx+3，g（x）=x²+2x+m
（1）求证：函数f（x）-g（x）必有零点
（2）设函数G（x）=f（x）-g（x）-1
①若|G（x）|在[-1，0]上是减函数，求实数m的取值范围；
②是否存在整数a，b，使得a≤G（x）≤b的解集恰好是[a，b]，若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B，C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．
（Ⅰ）证明A，P，O，M四点共圆；
（Ⅱ）求∠OAM+∠APM的大小．

22. 难度：中等

如果曲线x²+4xy+3y²=1在矩阵的作用下变换得到曲线x²-y²=1，求a+b的值．

23. 难度：中等

在极坐标系中，O为极点，已知两点M，N的极坐标分别为，，求△OMN的面积．

24. 难度：中等

求函数的最大值．

25. 难度：中等

如图，正四棱锥P-ABCD中，AB=2，PA=，AC、BD相交于点O
求：（1）直线BD与直线PC所成的角；
（2）平面PBC与平面PAC所成的角．

26. 难度：中等

某校校运会期间，来自甲、乙两个班级共计6名学生志愿者随机平均分配到后勤组、保洁组、检录组，并且后勤组至少有一名甲班志愿者的概率为
（1）求6名志愿者中来自甲、乙两个班级的学生各有几人
（2）设在后勤组的甲班志愿者的人数为X，求随机变量X的概率分布列及数学期望E（X）