2006-2007学年江苏省南京市金陵中学高三数学综合试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₄+a₇+a₁₀=15，a₄+a₅+a₆+…+a₁₄=77，a_k=13，则k的值为（ ）
A．14
B．15
C．16
D．17

2. 难度：中等

设a＞0，b＞0，则以下不等式中不恒成立的是（ ）
A．≥4
B．a³+b³≥2ab²
C．a²+b²+2≥2a+2b
D．≥

3. 难度：中等

已知A，B，C，D，E，F，G七个元素排成一排，要求A排在正中间，且B，C相邻，则不同的排法有（ ）
A．48种
B．96种
C．192种
D．240种

4. 难度：中等

设f（x）是定义在R上单调递减的奇函数，若x₁+x₂＞0，x₂+x₃＞0，x₃+x₁＞0，则（ ）
A．f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）＞0
B．f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）＜0
C．f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）=0
D．f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）

5. 难度：中等

设函数f（x）=则使得f（x）≥1的自变量x的取值范围为（ ）
A．（-∞，-2]∪[0，10]
B．（-∞，-2]∪[0，1]
C．（-∞，-2]∪[1，10]
D．[-2，0]∪[1，10]

6. 难度：中等

在△ABC中，tanA=，cosB=．若最长边为1，则最短边的长为（ ）．
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

设 a＞b＞0，那么 的最小值是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

8. 难度：中等

已知抛物线y²=8x，O是坐标原点，F是焦点，P是抛物线上的点，使得△POF是直角三角形，则这样的P点共有（ ）
A．0个
B．2个
C．4个
D．6个

9. 难度：中等

某同学做了10道选择题，每道题四个选择项中有且只有一项是正确的，他每道题都随意地从中选了一个答案，记该同学至少答对9道题的概率为P，则下列数据中与P最接近的是（ ）
A．3×10^-4
B．3×10^-5
C．3×10^-6
D．3×10^-7

10. 难度：中等

6件产品中有4件合格品，2件次品．为找出2件次品，每次任取一个检验，检验后不再放回，恰好经过4次检验找出2件次品的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

设四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边形，用平面 α去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α（ ）

A．不存在
B．只有1个
C．恰有4个
D．有无数多个

12. 难度：中等

设函数y=f （x）满足f （x+1）=f （x）+1，则方程f （x）=x的根的个数是（ ）
A．无穷个
B．有限个
C．没有或者有限个
D．没有或者无穷个

二、解答题

13. 难度：中等

已知则x²+y²的最大值是    ．

14. 难度：中等

已知A，B，C三点在球心为O，半径为R的球面上，AC⊥BC，且AB=R，那么A，B两点的球面距离为    ，球心到平面ABC的距离为    ．

15. 难度：中等

已知（1+）ⁿ=a+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，a₃=，则a₁+a₂+…+a_n=    ．

16. 难度：中等

平面上向量绕点O逆时针方向旋转得向量，且=（7，9），则向量=    ．

17. 难度：中等

直角三角形ABC中，AD是斜边BC上的中线，若AB，AD，AC成等比数列，则∠ADC等于    ．

18. 难度：中等

等比数列{a_n}的首项为a₁=100，公比q=，设f（n）表示这个数列的前n项的积，则当n=    时，f（n）有最大值．

19. 难度：中等

y=|cosx|+|cos2x|（x∈R） 的最小值是    ．

20. 难度：中等

设集合A=，B=，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是   

21. 难度：中等

已知函数f（x）=|x-1|+|x|+|x+1|，若f（a²-2）=f（a），则实数a=    ．

22. 难度：中等

函数f（x）=xⁿ+（1-x）ⁿ，x∈（0，1），n∈N^*．记y=f（x）的最小值为a_n，则a₁+a₂+…+a₆=    ．

23. 难度：中等

设函数f（x）=，其中向量=（cos，sin） （x∈R），向量=（cosϕ，sinϕ）（|ϕ|＜），f（x）的图象关于直线x=对称．
（Ⅰ）求ϕ的值；
（Ⅱ）若函数y=1+sin的图象按向量=（m，n） （|m|＜π）平移可得到函数y=f（x）的图象，求向量．

24. 难度：中等

已知sin（+3α） sin（-3α）=，α∈（0，），求（-）sin4α的值．

25. 难度：中等

已知△ABC中，满足，a，b，c分别是△ABC的三边．
（1）试判定△ABC的形状，并求sinA+sinB的取值范围．
（2）若不等式a²（b+c）+b²（c+a）+c²（a+b）≥kabc对任意的a，b，c都成立，求实数k的取值范围．

26. 难度：中等

甲、乙两小组各有10位同学，他们的身高统计如下（单位：米）：
甲组：1.74，1.75，1.63，1.69，1.77，1.75，1.57，1.59，1.66，1.72，
乙组：1.63，1.69，1.73，1.78，1.59，1.70，1.63，1.76，1.67，1.63．
（Ⅰ）在甲组中任选三人，求至少有两人的身高在1.70米以上（含1.70米）的概率；
（Ⅱ）从甲、乙两小组中各任选一人，若将这20人按身高分成三个身高组：A组1.50～1.59米，B组1.60～1.69米，C组1.70～1.79米，求这两人分在不同身高组的概率．

27. 难度：中等

5位员工甲、乙、丙、丁、戊参加单位的技能测试，已知他们测试合格的概率分别是．
（Ⅰ）求他们中恰好有一人通过测试的概率；
（Ⅱ）求他们中恰好有两人通过测试且甲、乙两人不都通过测试的概率．

28. 难度：中等

一个口袋中装有n个红球（n≥5且n∈N）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．
（Ⅰ）试用n表示一次摸奖中奖的概率p；
（Ⅱ）若n=5，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；
（Ⅲ） 记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P．当n取多少时，P最大？

29. 难度：中等

已知在多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE∥AB，AC=AD=CD=DE=2，F为CD的中点．
（Ⅰ）求证：AF⊥平面CDE；
（Ⅱ）求平面ABC和平面CDE所成的小于90？的二面角的大小；
（Ⅲ）求点A到平面BCD的距离的取值范围．

30. 难度：中等

直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=DC=AB，AD⊥AB，AB∥CD，E，F，G分别为AD₁，A₁B₁，AB中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面B₁C₁G；
（Ⅱ）当二面角G-C₁B₁-C为45？时，求CD与平面C₁B₁G所成的角．

31. 难度：中等

在斜三棱柱ABC-A′B′C′中，底面△ABC为正三角形，设AA′：AC=λ．顶点A′在底面ABC上的射影O是△ABC的中心，P为侧棱CC′中点，G为△PA′B′的重心．
（Ⅰ）求证：OG∥平面AA′B′B；
（Ⅱ）当λ=时，求证：平面A′B′P⊥平面BB′C′C；
（Ⅲ）当λ=1时，求二面角C-A′B-P的大小．

32. 难度：中等

定义域均为R的奇函数f（x）与偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=10^x．
（Ⅰ）求函数f（x）与g（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的反函数；
（Ⅲ）证明：g（x₁）+g（x₂）≥2g（）；
*（Ⅳ）试用f（x₁），f（x₂），g（x₁），g（x₂）表示f（x₁-x₂）与g（x₁+x₂）．

33. 难度：中等

设椭圆C：+=1的左焦点为F，左准线为l，一条直线过点F与椭圆C交于A，B两点，若直线l上存在点P，使△ABP为等边三角形，求直线AB的方程．

34. 难度：中等

设O为坐标原点，A（-，0），点M在定直线x=-p（p＞0）上移动，点N在线段MO的延长线上，且满足=．
（Ⅰ）求动点N的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？
（Ⅱ）若|AN|的最大值≤，求p的取值范围．

35. 难度：中等

中心在原点的双曲线C₁的一个焦点与抛物线C₂：y²=8x的焦点F重合，抛物线C₂的准线l与双曲线C₁的一个交点为A，且|AF|=5．
（Ⅰ）求双曲线C₁的方程；
（Ⅱ）若过点B（0，1）的直线m与双曲线C₁相交于不同两点M，N，且=λ．
①求直线m的斜率k的变化范围；
②当直线m的斜率不为0时，问在直线y=x上是否存在一定点C，使⊥（-λ）？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

36. 难度：中等

已知正项数列{ a_n }满足S_n+S_n-1=+2 （n≥2，t＞0），a₁=1，其中S_n是数列{ a_n }的前n项和．
（Ⅰ）求通项a_n；
（Ⅱ）记数列{}的前n项和为T_n，若T_n＜2对所有的n∈N^*都成立．求证：0＜t≤1．

37. 难度：中等

已知函数f（x）=x⁴+ax³+bx²+c，其图象在y轴上的截距为-5，在区间[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，又当x=0，x=2时取得极小值．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）能否找到垂直于x轴的直线，使函数f（x）的图象关于此直线对称，并证明你的结论；
*（Ⅲ）设使关于x的方程f（x）=λ²x²-5恰有三个不同实根的实数λ的取值范围为集合A，且两个非零实根为x₁、x₂．试问：是否存在实数m，使得不等式m²+tm+2≤|x₁-x₂|对任意t∈[-3，3]，λ∈A恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．

38. 难度：中等

某工厂有一个容量为300吨的水塔，每天从早上6时起到晚上10时止供应该厂的生产和生活用水，已知该厂生活用水为每小时10吨，工业用水量W（吨）与时间t（小时，且规定早上6时t=0）的函数关系为W=100．水塔的进水量分为10级，第一级每小时进水10吨，以后每提高一级，每小时进水量就增加10吨．若某天水塔原有水100吨，在开始供水的同时打开进水管，问进水量选择为第几级时，既能保证该厂的用水（水塔中水不空）又不会使水溢出？

39. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的首项为a，公差为b；等比数列{b_n}的首项为b，公比为a，其中a，b∈N₊，且a₁＜b₁＜a₂＜b₂＜a₃
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若对于任意n∈N^*，总存在m∈N^*，使a_m+3=b_n，求b的值；
（Ⅲ）甲说：一定存在b使得对n∈N^*恒成立；乙说：一定存在b使得对n∈N^*恒成立．你认为他们的说法是否正确？为什么？