2011年北京市西城区高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，5}，B={4，5}，则∁_U（A∪B）等于（ ）
A．{1，2，3，4}
B．{1，3}
C．{2，4，5}
D．{5}

2. 难度：中等

函数的定义域是（ ）
A．（0，2]
B．（0，2）
C．[0，2]
D．[1，2]

3. 难度：中等

为了得到函数y=sinx+cosx的图象，只需把y=sinx-cosx的图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度

4. 难度：中等

设a=log₂3，b=log₄3，c=0.5，则（ ）
A．c＜b＜a
B．b＜c＜a
C．b＜a＜c
D．c＜a＜b

5. 难度：中等

一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积是（ ）

A．6
B．12
C．24
D．36

6. 难度：中等

对于平面α和异面直线m，n，下列命题中真命题是（ ）
A．存在平面α，使m⊥α，n⊥α
B．存在平面α，使m⊂α，n⊂α
C．存在平面α，满足m⊥α，n∥α
D．存在平面α，满足m∥α，n∥α

7. 难度：中等

右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

某次测试成绩满分为150分，设n名学生的得分分别为a₁，a₂，…，a_n（a_i∈N，1≤i≤n），b_k（1≤k≤150）为n名学生中得分至少为k分的人数．记M为n名学生的平均成绩．则（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

9. 难度：中等

若复数（1+i）（1+ai）是纯虚数，则实数a等于    ．

10. 难度：中等

向量=（1，sinθ），=（1，cosθ），若•=，则sin2θ=    ．

11. 难度：中等

双曲线的离心率为    ；若椭圆与双曲线C有相同的焦点，则a=    ．

12. 难度：中等

设不等式组表示的区域为W，圆C：（x-2）²+y²=4及其内部区域记为D．若向区域W内投入一点，则该点落在区域D
内的概率为    ．

13. 难度：中等

阅读右侧程序框图，则输出的数据S为    ．

14. 难度：中等

已知数列{a_n}的各项均为正整数，S_n为其前n项和，对于n=1，2，3，…，有，当a₃=5时，a₁的最小值为    ；当a₁=1时，S₁+S₂+…+S₂₀=    ．

15. 难度：中等

设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且，b=2．
（Ⅰ）当A=30°时，求a的值；
（Ⅱ）当△ABC的面积为3时，求a+c的值．

16. 难度：中等

如图所示，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，AF∥DE，DE=DA=2AF=2．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求证：AC∥平面BEF；
（Ⅲ）求四面体BDEF的体积．

17. 难度：中等

已知{a_n}是公比为q的等比数列，且a₁+2a₂=3a₃．
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）设{b_n}是首项为2，公差为q的等差数列，其前n项和为T_n．当n≥2时，试比较b_n与T_n的大小．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）若直线l过点（0，-1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程；
（Ⅲ）设函数g（x）=f（x）-a（x-1），其中a∈R，求函数g（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e为自然对数的底数）

19. 难度：中等

已知抛物线y²=4x的焦点为F，直线l过点M（4，0）．
（Ⅰ）若点F到直线l的距离为，求直线l的斜率；
（Ⅱ）设A，B为抛物线上两点，且AB不与x轴重合，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值．

20. 难度：中等

将1，2，3，…，n这n个数随机排成一列，得到的一列数a₁，a₂，…，a_n称为1，2，3，…，n的一个排列；定义τ（a₁，a₂，…，a_n）=|a₁-a₂|+|a₂-a₃|+…|a_n-1-a_n|为排列a₁，a₂，…，a_n的波动强度．
（Ⅰ）当n=3时，写出排列a₁，a₂，a₃的所有可能情况及所对应的波动强度；
（Ⅱ）当n=10时，求τ（a₁，a₂，…，a₁₀）的最大值，并指出所对应的一个排列；
（Ⅲ）当n=10时，在一个排列中交换相邻两数的位置称为一次调整，若要求每次调整时波动强度不增加，问对任意排列a₁，a₂，…，a₁₀，是否一定可以经过有限次调整使其波动强度降为9；若可以，给出调整方案，若不可以，请给出反例并加以说明．