2011年重庆市高考数学三模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数的虚部为（ ）
A．1
B．-1
C．i
D．-i

2. 难度：中等

已知全集U={1，2，3，4}，M={x|x²-5x+6=0}，则C_UM=（ ）
A．{2，3}
B．{1，2，4}
C．{1，3，4}
D．{1，4}

3. 难度：中等

2名男生和2名女生站成一排，则2名男生相邻的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知=（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

条件p：a≤2，条件q：a（a-2）≤0，则￢p是￢q的（ ）
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

已知等差数列{a_n}满足a₃+a₁₃-a₈=2，则{a_n}的前15项和S₁₅=（ ）
A．10
B．15
C．30
D．60

7. 难度：中等

若存在，则实数x的取值范围是（ ）
A．（0，）
B．（0，]
C．[）
D．[2，+∞）

8. 难度：中等

已知半径R的球的球面上有三个点，其中任意两点间的球面距离都等于，且经过这三个点的小圆周长为4π，则R=（ ）
A．
B．
C．2
D．

9. 难度：中等

已知直线y=kx（k＞0）与函数y=|sinx|的图象恰有三个公共点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）其中x₁＜x₂＜x₃，则有（ ）
A．sinx₃=1
B．sinx₃=x₃cosx₃
C．sinx₃=x₃tanx₃
D．sinx₃=kcosx₃

10. 难度：中等

光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射．已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出；如图，椭圆C：与双曲线C′：有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过2k（k∈N^*）次反射后回到左焦点所经过的路径长为（ ）

A．k（a+m）
B．2k（a+m）
C．k（a-m）
D．2k（a-m）

二、解答题

11. 难度：中等

已知下表是某班45名学生在一次数学考试中的成绩分布表

分数	[0，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150]
人数	2	3	5	8	12	8	5	2

那么成绩不低于100分的频率为    ．

12. 难度：中等

若点（-1，0）与点（2，-1）分别位于直线2x+y+a=0的两侧，则实数a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

已知函数则f（log₂3）=    ．

14. 难度：中等

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长均为a，截面AB₁C和A₁BC₁相交于DE，则三棱锥B-B₁DE的体积为    ．

15. 难度：中等

P是△ABC所在平面内一点，且满足，已知△ABC的面积是1，则△PAB的面积是    ．

16. 难度：中等

已知=（sinωx，-cosωx），=（sinωx，sinωx）（ω＞0），若函数f（x）=的最小正周期为．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．

17. 难度：中等

一个口袋中有大小相同的2个白球和4个黑球，每次从袋中随机地摸出1个球，并换入1只相同大小的黑球，这样继续下去，求：
（Ⅰ）第2次摸出的恰好是白球的概率；
（Ⅱ）摸2次摸出白球的个数ξ的分布列与数学期望．

18. 难度：中等

如题19图，平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的下底面ABCD是边长为a的正方形，AA₁=a，且点A₁在下底面ABCD上的射影恰为D点．
（I）证明：B₁D⊥面A₁CB；
（II）求二面角A₁-BC-B₁的大小．

19. 难度：中等

设函数f（x）=（x-1）²+a1nx，其中a为常数．
（Ⅰ）当a＞时，判断函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域上既有极大值又有极小值，求a的取值范围．

20. 难度：中等

已知双曲线C：的离心率e=，其一条准线方程为x=．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）如题20图：设双曲线C的左右焦点分别为A，B，点D为该双曲线右支上一点，直线AD与其左支交于点E，若，求实数λ的取值范围．

21. 难度：中等

过曲线上的一点Q（0，2）作曲线的切线，交x轴于点P₁，过P₁作垂直于x轴的直线交曲线于Q₁，过Q₁作曲线的切线，交x轴于点P₂；过P₂作垂直于x轴的直线交曲线于Q₂，过Q₂作曲线的切线，交x轴于点P₃；…如此继续下去得到点列：P₁，P₂，P₃，…P_n，…，设P_n的横坐标为x_n（n∈N^*）
（I）试用n表示x_n；
（II）证明：；
（III）证明：．