2009-2010学年湖北省孝感市高三第一次统考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知a∈R，i为虚数单位，复数为纯虚数，则其虚部为（ ）
A．1
B．-1
C．i
D．-i

2. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，若a₁+a₅+a₉=，则tan（a₄+a₆）=（ ）
A．
B．
C．1
D．-1

3. 难度：中等

设全集U=R，，则如图中阴影部分表示的集合为（ ）

A．{x|x≥1}
B．{x|1≤x＜2}
C．{x|0＜x≤1}
D．{x|x≤1}

4. 难度：中等

已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m、n，则下列四个命题中，假命题是（ ）
A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
B．若m⊥α，m⊥β则α∥β
C．m⊥α，m∥n，n⊂β则α⊥β
D．m∥α，α∩β=n，则m∥n

5. 难度：中等

要从6名男生和4名女生中选出5名学生参加某项公益活动，如果按性别分层抽样，则不同的选法和数是（ ）
A．C₆³C₄²
B．A₆³A₄²
C．
D．

6. 难度：中等

将函数的图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），所得图象关于y轴对称，则a的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

f（x）为定义在区间[-2，2]上的连续函数，它的导函数f（x）的图象如图，则下面结论正确的是（ ）

A．f（x）在区间（0，2）上存在极大值
B．f（x）在区间（-1，1）上存在反函数
C．只有在x=0处f（x）才取得最小值
D．只有在x=2处f（x）才取得最大值

8. 难度：中等

已知 椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率为e，点F₁关于直线l：y=ex+a的对称点记为P，若△PF₁F₂为等腰三角形，则e=（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

如图，△OAB中，，设，若，则实数λ的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知函数，集合M={x|f[f（x）]=1}，则M中元素的个数为（ ）
A．3个
B．4个
C．6个
D．9个

二、解答题

11. 难度：中等

设（1+x+y）^x的展开式的不含x项的系数和为a_x，则=    ．

12. 难度：中等

设点P（x，y）是函数y=tanx与y=-x（x＞0）的图象的一个交点，则（x²+1）（cos2x+1）=    ．

13. 难度：中等

如图，AC₁是正方体的一条对角线，点P、Q分别为其所在棱的中点，则异面直线PQ与AC₁所成的角为    ．

14. 难度：中等

若实数x、y满足不等式组，则的取值范围是    ．

15. 难度：中等

已知函数：（1）；（4）；（5）f（x）=log₂x
其中f（x）对于区间（0，1）上的任意两个值x₁，x₂（x₁≠x₂），恒有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立的函数序号是    （请把你认为正确的函数序号都填上）．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=，其中，=（cosωx-sinωx，2sinωx），其中ω＞0，若f（x）相邻两对称轴间的距离不小于．
（Ⅰ）求ω的取值范围；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=，b+c=3，当ω最大时，f（A）=1，求△ABC的面积．

17. 难度：中等

设某银行一年内吸纳储户存款的总数与银行付给储户年利率的平方成正比，若该银行在吸纳到储户存款后即以5%的年利率把储户存款总数的90%贷出以获取利润，问银行支付给储户年利率定为多少时，才能获得最大利润？
（注：银行获得的年利润是贷出款额的年利息与支付给储户的年利息之差．）

18. 难度：中等

如图，半径1的⊙O上有一定点P和两个动点A、B，且，求的最大值．

19. 难度：中等

从2009年夏季开始，我省普通高中全面实施新课程，新课程的一个最大亮点就是实行课程选修制．现在某校开设通用技术、信息技术和劳动技术三门选修课，假设有4位同学，每位同学选每门选修课的概率均为，用ξ表示这4位同学选修通用技术课的人数，求：
（I）至少有2位同学选修通用技术课的概率；
（II）随机变量ξ的期望．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对一切正整数n都有．
（I）求证：a_n+1+a_n=4n+2；
（II）求数列{a_n}的通项公式；
（III）是否存在实数a，使不等式对一切正整数n都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=|x-a|-lnx（a∈R）
（I）若a=1，求f（x）的单调区间及f（x）的最小值；
（II）若a∈R，试讨论f（x）的单调区间；
（III）若n∈N⁺，求证：．