2012年四川省绵阳市高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-ax²+4（a∈R）．
（I）若x=是f（x）的一个极值点，求实数a的值及f（x）在区间（-1，a）上的极大值；
（II）若在区间[1，2]内至少存在一个实数x，使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．

2. 难度：中等

已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，f（）=-1，且当x，y∈（-1，1）时，恒有f（x）-f（y）=f（）．又数列{a_n}满足，a₁=，a_n+1=．
（I ）证明：f（x）在（-1，1）上是奇函数
（ II ）求f（a_n）的表达式；
（III）设b_n=-，T_n为数列{b_n}的前n项和，试问是否存在正整数m，n，使得＜成立？若存在，求出这样的正整数；若不存在，请说明理由．

二、选择题

3. 难度：中等

若集合I={x∈N|0＜x≤6}，P={x|x是6的约数}，Q={1，3，4，5}，则（C_IP）∩Q=（ ）
A．{3}
B．{4，5}
C．Q
D．{1，4，5}

4. 难度：中等

函数y=的定义域为（ ）
A．（，+∞）
B．（，]
C．[，+∞）
D．（-∞，]

5. 难度：中等

如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，则下列命题正确的是（ ）

A．函数y=f（x）在x=x₁处有极小值
B．函数y=f（x）在x=x₂处有极小值
C．函数y=f（x）在x=x₃处有极大值
D．函数y=f（x）在x=x₄处有极大值

6. 难度：中等

下列函数中，既是偶函数，又是区间（-1，0）上的增函数的是（ ）
A．y=2^-x
B．y=x-
C．y=log₂|x|
D．y=|x²-6|

7. 难度：中等

设a=4^0.8，b=8^0.4，c=，则（ ）
A．a＞c＞b
B．b＞a＞c
C．c＞d＞b
D．a＞b＞c

8. 难度：中等

已知f（x）=则f（x）≥1的解集是（ ）
A．∅
B．[-，4]
C．（-∞，-1]∪[4，+∞）
D．（-∞，-]∪[4，+∞）

9. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=-11，a₄+a₆=-6，则当S_n取最小值时，n等于（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9

10. 难度：中等

给出以下四个命题：
①若x²≠y²，则x≠y或x≠-y；
②若2≤x＜3，则（x-2）（x-3）≤0；
③若a，b全为零，则|a|+|b|=0；
④x，y∈N，若x+y是奇数，则x，y中一个是奇数，一个是偶数．
那么下列说法错误的是（ ）
A．①为假命题
B．②的逆命题为假
C．③的否命题为真
D．④的逆否命题为真

11. 难度：中等

若曲线f（x）=x⁴-2x在点P处的切线与直线x+2y-1=0垂直，则点P的坐标是（ ）
A．（1，0）
B．（-1，1）
C．（1，-1）
D．（-1，3）

12. 难度：中等

已知等差数列{a_n}前三项和为11，后三项和为69，所有项的和为120，则a₅=（ ）
A．40
B．20
C．
D．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²+2ax+4（a＞0），若x₁＜x₂，x₁+x₂=0，则（ ）
A．f（x₁）＜f（x₂）
B．f（x₁）=f（x₂）
C．f（x₁）＞f（x₂）
D．f（x₁）与f（x₂）的大小不能确定

14. 难度：中等

若定义在R上的函数y=f（x）满足f（x+1）=-f（x），且当x∈[-1，1]时，f（x）=x²，函数g（x）=则函数h（x）=f（x）-g（x）在区间[-5，5]内的零点的个数为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数f（x）=1+2lgx的反函数为g（x），则f（1）+g（1）=    ．

16. 难度：中等

某农场种植的甲、乙两种棉花，近五年中各年平均单位产量（千克/亩）如下表：

棉农	2007年	2008年	2009年	2010年	2011年
甲	68	70	73	69	70
乙	67	71	71	69	72

则产量比较稳定的是    ．

17. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的公差d≠0，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比等于    ．

18. 难度：中等

设函数f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为“倍约束函数”．现给出下列函数：
①f（x）=2x；②f（x）=x²+1；③；④f（x）是定义在实数集R的奇函数，且对一切x₁，x₂均有|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|．
其中是“倍约束函数”的是    ．（写出所有正确命题的序号）

19. 难度：中等

已知集合A={x||x-a|≤4，x∈R，a∈R}，集合B={x|＜1}．
（1）若A∩B=（5，7]，求实数a的值；
（2）若A∩B=A，求实数a的取值范围．

20. 难度：中等

分组	频数	频率
（3.9，4.2]	4	0.08
（4.2，4.5]	5	0.10
（4.5，4.8]	25	m
（4.8，5.1]	x	y
（5.1，5.4]	6	0.12
合计	n	1.00

为了解我市高三学生的视力状况，绵阳市某医疗卫生机构于2011年9月对某校高三学生进行了一次随机抽样调查．已知该校高三的男女生人数的比例为4：1，调查时根据性别采用分层抽样的方式随机抽取了一部分学生作为样本．现将调查结果分组，分组区间为（3.9，4.2]，（4.2，4.5]，…（5.1，5.4]．经过数据处理，得到如频率分布表：
（1）求频率分布表中未知量x，y，m，n的值；
（2）从样本中视力在（4.2，4.5]和（5.1，5.4]的所有同学中随机抽取两人，求两人的视力差的绝对值低于0.5的概率；
（3）若该校某位高三女生被抽进本次调查的样本的概率为，请你根据本次抽样调查的结果估计该校高三学生中视力高于4.8的人数．

21. 难度：中等

等比数列{a_n}的各项均为正数，且a₁+6a₂=1，a₂²=9a₁•a₅，．
（I ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设a₁•a₂•a₃…a_n=，求数列{b_n}的前n项和．

22. 难度：中等

己知函数h（x）=（x∈R，且x＞2）的反函数的图象经过点（4，3），将函数y=h（x）的图象向左平移2个单位后得到函数y=f（x）的图象．
（I ）求函数f（x）的解析式；
（II）若g（x）=f（x）+，g（x）在区间（0，3]上的值不小于8，求实数a的取值范围．