2011年湖北省武汉市武昌区高三元月调考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

函数的定义域为（ ）
A．[-4，1]
B．[-4，0）
C．（0，1]
D．[-4，0）∪（0，1]

2. 难度：中等

等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且4a₁，2a₂，a₃成等差数列．若a₁=1，则S₄=（ ）
A．7
B．8
C．15
D．16

3. 难度：中等

已知集合A={y|y=log₂x，x＞1}，B={y|y=（）^x，x＞1}，则A∪B等于（ ）
A．{y|0＜y＜}
B．{y|y＞0}
C．∅
D．R

4. 难度：中等

将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（ ）
A．y=2cos²
B．y=2sin²
C．
D．y=cos2

5. 难度：中等

设非零向量，满足||=||=|+|，则与-的夹角为（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°

6. 难度：中等

设x，y满足则z=x+y（ ）
A．有最小值2，最大值3
B．有最小值2，无最大值
C．有最大值3，无最小值
D．既无最小值，也无最大值

7. 难度：中等

已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

8. 难度：中等

的展开式中有理项共有（ ）
A．1项
B．2项
C．3项
D．4项

9. 难度：中等

直线y=k（x-2）交抛物线y²=8x于A、B两点，若AB中点的横坐标为3，则弦AB的长为（ ）
A．6
B．10
C．
D．16

10. 难度：中等

如图，已知点P是圆上C：x²+（y-2）²=1的一个动点，点Q是直线l：x-y=0上的一个动点，O为坐标原点，则向量上的投影的最大值是（ ）

A．3
B．
C．
D．1

二、解答题

11. 难度：中等

某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y万元与营运年数x（x∈N）的关系为y=-x²+12x-25，则每辆客车营运    年可使营运年利润最大，最大值为    万元．

12. 难度：中等

已知样本2，3，4，x，y的平均数是2，方差是3，则xy=    ．

13. 难度：中等

如图，在半径为3的球面上有A、B、C三点，∠ABC=90°，BA=BC，球心O到平面ABC的距离是，则B、C两点的球面距离是    ．

14. 难度：中等

有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有    种．

15. 难度：中等

已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（3x）=3f（x）成立；（2）当x∈（1，3]时，f（x）=3-x．给出如下结论：
①对任意m∈Z，有f（3^m）=0；
②函数f（x）的值域为[0，+∞）；
③存在n∈Z，使得f（3ⁿ+1）=9．
其中所有正确结论的序号是    ．

16. 难度：中等

△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a，b，c，且a²+c²-a²=bc．
（Ⅰ）求∠A的大小；
（Ⅱ）求的最大值．

17. 难度：中等

袋中装有形状大小完全相同的2个白球和3个黑球．
（Ⅰ）采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率；
（Ⅱ）采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求至少摸出1个白球的概率．

18. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD的底面的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，，点M在侧棱PC上，且CM=2MP．
（Ⅰ）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的余弦值．

19. 难度：中等

已知点P（x，y）与点连线的斜率之积为1，点C的坐标为（1，0）．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）过点Q（2，0）的直线与点P的轨迹交于E、F两点，求证为常数．

20. 难度：中等

已知各项均为正实数的数列{a_n}的前n项和为S_n，4S_n=a_n²+2a_n-3对于一切n∈N^*成立．
（Ⅰ）求a₁；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设为数列的前n项和，求证T_n＜5．

21. 难度：中等

设函数f（x）=2x³-3（a+3）x²+18ax-8a，x∈R．
（Ⅰ）当a=-1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[1，2]上为减函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当方程f（x）=0有三个不等的正实数解时，求实数a的取值范围．