2007-2008学年广东省华南师大附中高三综合测试数学试卷4（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

命题：“若a²+b²=0（a，b∈R），则a=b=0”的逆否命题是（ ）
A．若a≠b≠0（a，b∈R），则a²+b²≠0
B．若a=b≠0（a，b∈R），则a²+b²≠0
C．若a≠0且b≠0（a，b∈R），则a²+b²≠0
D．若a≠0或b≠0（a，b∈R），则a²+b²≠0

2. 难度：中等

已知=1-ni，其中m，n是实数，i是虚数单位，则m+ni的虚部为（ ）
A．1
B．2
C．i
D．2i

3. 难度：中等

与函数y=0.1^lg（2x-1）的图象相同的函数解析式是（ ）
A．y=2x-1（x＞）
B．y=
C．y=（x＞）
D．y=||

4. 难度：中等

在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数又是以π为周期的偶函数？（ ）
A．y=x²（x∈R）
B．y=|sinx|（x∈R）
C．y=cos2x（x∈R）
D．y=e^sin2x（x∈R）

5. 难度：中等

正四棱锥底面边长为2，高为1，则此正四棱锥的侧面积等于（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

直线2x+ay+3=0的倾斜角为120°，则a的值是（ ）
A．
B．-
C．2
D．-2

7. 难度：中等

给定两个向量，，若，则x的等于（ ）
A．-3
B．
C．3
D．

8. 难度：中等

已知有（ ）
A．最小值
B．最大值
C．最小值
D．最大值

9. 难度：中等

已知直线l₁的方向向量为a=（1，3），直线l₂的方向向量b=（-1，k），若直线l₂经过点（0，5），且l₁⊥l₂，则直线l₂的方程为（ ）
A．x+3y-5=0
B．x+3y-15=0
C．x-3y+5=0
D．x-3y+15=0

10. 难度：中等

f（x）=2x³-6x²+a在[-2，2]上有最大值3，那么在[-2，2]上f（x）的最小值是（ ）
A．-5
B．-11
C．-29
D．-37

二、解答题

11. 难度：中等

（文）等比数列{a_n}中，a₁+a₂=30，a₃+a₄=60，则a₇+a₈=    ．

12. 难度：中等

在一个水平放置的底面半径为cm的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为Rcm的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升Rcm，则R=    cm．

13. 难度：中等

在坐标平面内，由不等式组所确定的区域的面积为=    ．

14. 难度：中等

已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，AH为BC边上的高，以下结论：
①；
②；
③；
④．
其中正确的是    ．（写出所有你认为正确的结论的序号）

15. 难度：中等

已知数列{a_n}为等差数列，S_n为其前n项和，且a₂=3，4S₂=S₄．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证数列{2^a_n}是等比数列；
（3）求使得S_n+2＞2S_n的成立的n的集合．

16. 难度：中等

已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），．
（1）若，求角α的值；
（2）若，求的值．

17. 难度：中等

一艘轮船在航行过程中的燃料费与它的速度的立方成正比例关系，其他与速度无关的费用每小时96元，已知在速度为每小时10公里时，每小时的燃料费是6元，要使行驶1公里所需的费用总和最小，这艘轮船的速度应确定为每小时多少公里？

18. 难度：中等

如图，已知棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，且AA₁⊥面ABCD，∠DAB=60°，AD=AA₁，F为棱AA₁的中点，M为线段BD₁的中点，
（1）求证：MF∥面ABCD；
（2）求证：MF⊥面BDD₁B₁．

19. 难度：中等

已知与曲线C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直线l分别交x轴、y轴于A（a，0）、B（0，b）两点（a＞2，b＞2），O为原点．
（1）求证：（a-2）（b-2）=2；
（2）求线段AB中点的轨迹方程；
（3）求△AOB面积的最小值．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=3^x且f^-1（18）=a+2，g（x）=3^ax-4x定义域为[-1，1]．
（1）求g（x）的解析式；
（2）判断g（x）的单调性；
（3）若g（x）=m有解，求m的取值范围．