2006-2007学年广东省广州市高三第一次调研数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，5}，则∁_UA=（ ）
A．{2，4}
B．{1，3，5}
C．{1，2，3，4，5}
D．∅

2. 难度：中等

函数的定义域是（ ）
A．[1，+∞）
B．（-∞，2）
C．（1，2）
D．[1，2）

3. 难度：中等

已知向量a表示“向东航行1km”，向量b表示“向南航行1km”，则向量a+b表示（ ）
A．向东南航行km
B．向东南航行2km
C．向东北航行km
D．向东北航行2km

4. 难度：中等

在下列命题中，错误的是（ ）
A．如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合
B．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行
C．如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线垂直
D．如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行

5. 难度：中等

直线3x+4y-14=0与圆（x-1）²+（y+1）²=4的位置关系是（ ）
A．相交且直线过圆心
B．相切
C．相交但直线不过圆心
D．相离

6. 难度：中等

不等式x²-y²≥0所表示的平面区域（阴影部分）是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知空间直角坐标系O-xyz中有一点A（-1，-1，2），点B是xOy平面内的直线x+y=1上的动点，则A，B两点的最短距离是
（ ）
A．
B．
C．3
D．

8. 难度：中等

如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲y=x²和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

9. 难度：中等

已知，其中m，n是实数，i是虚数单位，则|m+ni|=    ．

10. 难度：中等

已知θ∈，sin θ=，则tan θ=    ．

11. 难度：中等

若的展开式中第三项的系数为10，则n=    ．

12. 难度：中等

已知函数则f（1）=    ，f（2+log₃2）=    ．

13. 难度：中等

如图，平行四边形ABCD中，AE：EB=1：2，若△AEF的面积等于1cm²，则△CDF的面积等于    cm²．

14. 难度：中等

（选做题）把参数方程（θ为参数）化为普通方程是    ．

15. 难度：中等

若不等式|x+2|+|x-1|≥a对于x∈R恒成立，则实数a的取值范围是    ．

16. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₃=5，S₃=9．
（Ⅰ）求首项a₁和公差d的值；
（Ⅱ）若S_n=100，求n的值．

17. 难度：中等

同时掷两颗质地均匀的骰子（六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），两颗骰子向上的点数之和记为ξ．
（Ⅰ）求ξ=5的概率P（ξ=5）；
（Ⅱ）求ξ＜5的概率P（ξ＜5）．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，其图象过点．
（Ⅰ） 求ω和φ的值；
（Ⅱ） 函数f（x）的图象可由y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换而得到？

19. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形；PA⊥平面ABCD，PA=AD=AC，点F为PC的中点．
（Ⅰ）求证：PA∥平面BFD；
（Ⅱ）求二面角C-BF-D的正切值．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=（x²-ax）e^x（a∈R）
（1）当a=2时，求函数f（x）的单调递减区间．
（2）若函数f（x）在（-1，1）上单调递减，求a的取值范围．
（3）函数f（x）可否为R上的单调函数，若是，求出a的取值范围，若不是，请说明理由．

21. 难度：中等

如图，已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别为F₁和F₂，椭圆C与x轴的两交点分别为A、B，点P是椭圆上一点（不与点A、B重合），且∠APB=2α，∠F₁PF₂=2β．
（Ⅰ）若β=45°，三角形F₁PF₂的面积为36，求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当点P在椭圆C上运动，试证明tanβ•tan2α为定值．