1. 难度:中等 | |
设g(x)是定义在R上,以1为周期的函数,若函数f(x)=x+g(x)在区间[3,4]上的值域为[-2,5],则f(x)在区间[-10,10]上的值域为 . |
2. 难度:中等 | |
已知函数f(x)=logax+x-b(a>0,且a≠1).当2<a<3<b<4时,函数f(x)的零点x∈(n,n+1),n∈N*,则n= . |
3. 难度:中等 | |
已知圆C:x2+y2=12,直线l:4x+3y=25. (1)圆C的圆心到直线l的距离为 ; (2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为 . |
4. 难度:中等 | |
某数学老师身高176cm,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm. |
5. 难度:中等 | |
设m>1,在约束条件 下,目标函数z=x+5y的最大值为4,则m的值为 . |
6. 难度:中等 | |
设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=lnx的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时t的值为( ) A.1 B. C. D. |
7. 难度:中等 | |
函数y=的图象与函数y=2sinπx(-2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( ) A.2 B.4 C.6 D.8 |
8. 难度:中等 | |
设S是整数集Z的非空子集,如果∀a,b∈S有ab∈S,则称S关于数的乘法是封闭的,若T,V是Z的两个不相交的非空子集,T∪V=Z,且∀a,b,c∈T,有abc∈T;∀x,y,z∈V,有xyz∈V,则下列结论恒成立的是( ) A.T,V中至少有一个关于乘法是封闭的 B.T,V中至多有一个关于乘法是封闭的 C.T,V中有且只有一个关于乘法是封闭的 D.T,V中每一个关于乘法都是封闭的 |
9. 难度:中等 | |
函数的图象是( ) A. B. C. D. |
10. 难度:中等 | |
函数的图象大致是( ) A. B. C. D. |
11. 难度:中等 | |
设m>1,在约束条件下,目标函数z=x+my的最大值小于2,则m 的取值范围为( ) A.(1,) B.(,+∞) C.(1,3) D.(3,+∞) |
12. 难度:中等 | |
已知函数f(x)=a•2x+b•3x,其中常数a,b 满足a•b≠0 (1)若a•b>0,判断函数f(x) 的单调性; (2)若a•b<0,求f(x+1)>f(x) 时的x 的取值范围. |
13. 难度:中等 | |
已知函数f(x)=+,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0. (Ⅰ)求a、b的值; (Ⅱ)如果当x>0,且x≠1时,f(x)>+,求k的取值范围. |
14. 难度:中等 | |
如图,已知椭圆C1的中心在原点O,长轴左、右端点M,N在x轴上.椭圆C2的短轴为MN,且C1,C2的离心率都为e.直线l⊥MN.l与C1交于两点,与C2交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为A、B、C、D. (Ⅰ)e=,求|BC|与|AD|的比值; (Ⅱ)当e变化时,是否存在直线l,使得BO∥AN,并说明理由. |
15. 难度:中等 | |
已知a,b是实数,函数f(x)=x3+ax,g(x)=x2+bx,f'(x)和g'(x)是f(x),g(x)的导函数,若f'(x)g'(x)≥0在区间I上恒成立,则称f(x)和g(x)在区间I上单调性一致 (1)设a>0,若函数f(x)和g(x)在区间[-1,+∞)上单调性一致,求实数b的取值范围; (2)设a<0,且a≠b,若函数f(x)和g(x)在以a,b为端点的开区间上单调性一致,求|a-b|的最大值. |
16. 难度:中等 | |
如图,长方形物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向作匀速移动,速度为v(v>0),雨速沿E移动方向的分速度为c(c∈R).E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分:(1)P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与|v-c|×S成正比,比例系数为;(2)其它面的淋雨量之和,其值为,记y为E移动过程中的总淋雨量,当移动距离d=100,面积S=时. (Ⅰ)写出y的表达式 (Ⅱ)设0<v≤10,0<c≤5,试根据c的不同取值范围,确定移动速度v,使总淋雨量y最少. |
17. 难度:中等 | |
设b>0,数列{an}满足a1=b,an=(n≥2). (1)求数列{an}的通项公式; (2)证明:对于一切正整数n,an≤+1. |
18. 难度:中等 | |
已知数列{an}与{bn}满足:,n∈N*,且a1=2,a2=4. (Ⅰ)求a3,a4,a5的值; (Ⅱ)设cn=a2n-1+a2n+1,n∈N*,证明:{cn}是等比数列; (Ⅲ)设Sk=a2+a4+…+a2k,k∈N*,证明:. |
19. 难度:中等 | |
在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆.如图所示,斜率为k(k>0)且不过原点的直线l交椭圆C于A,B两点,线段AB的中点为E,射线OE交椭圆C于点G,交直线x=-3于点D(-3,m). (Ⅰ)求m2+k2的最小值; (Ⅱ)若|OG|2=|OD|∙|OE|, (i)求证:直线l过定点; (ii)试问点B,G能否关于x轴对称?若能,求出此时△ABG的外接圆方程;若不能,请说明理由. |
20. 难度:中等 | |
已知a>0,函数f(x)=lnx-ax2,x>0.(f(x)的图象连续不断) (Ⅰ)求f(x)的单调区间; (Ⅱ)当时,证明:存在x∈(2,+∞),使; (Ⅲ)若存在均属于区间[1,3]的α,β,且β-α≥1,使f(α)=f(β),证明. |
21. 难度:中等 | |
设函数f(x)=x--alnx(a∈R). (Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性. (Ⅱ)若f(x)有两个极值点x1,x2,记过点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直线斜率为k.问:是否存在a,使得k=2-a?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由. |
22. 难度:中等 | |
在平面直角坐标系xoy上,给定抛物线L:y=x2.实数p,q满足p2-4q≥0,x1,x2是方程x2-px+q=0的两根,记φ(p,q)=max{|x1|,|x2|}. (1)过点,A(p,p2)(p≠0),作L的切线交y轴于点B.证明:对线段AB上的任一点Q(p,q),有φ(p,q)=; (2)设M(a,b)是定点,其中a,b满足a2-4b>0,a≠0.过M(a,b)作L的两条切线l1,l2,切点分别为E(p1,),E′(p2,p22),l1,l2与y轴分别交于F,F′.线段EF上异于两端点的点集记为X.证明:M(a,b)∈X⇔|P1|<|P2|⇔φ(a,b)=. (3)设D={ (x,y)|y≤x-1,y≥(x+1)2-}.当点(p,q)取遍D时,求φ(p,q)的最小值 (记为φmin)和最大值(记为φmax) |