2011年广东省广州市执信中学高考数学三模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U=R，则正确表示集合M={-1，0，1}和N={x|x²+x=0}关系的韦恩（Venn）图是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

下列n的取值中，使iⁿ ;=1（i是虚数单位）的是（ ）
A．n=2
B．n=3
C．n=4
D．n=5

3. 难度：中等

给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是（ ）
A．①和②
B．②和③
C．③和④
D．②和④

4. 难度：中等

“”是“共线”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．非充分非必要条件
D．充要条件

5. 难度：中等

已知简谐运动的图象经过点（0，1），则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为（ ）
A．T=6，φ=
B．T=6，φ=
C．T=6π，φ=
D．T=6π，φ=

6. 难度：中等

若函数y=f（x）是函数y=a^x-a（a＞0，且a≠1）的反函数，且f（）=1，则函数y=（ ）
A．log₂
B．
C．
D．2^x-2

7. 难度：中等

记等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₇=56，则a₄=（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8

8. 难度：中等

在棱锥P-ABC中，侧棱PA、PB、PC两两垂直，Q为底面△ABC内一点，若点Q到三个侧面的距离分别为3、4、5，则以线段PQ为直径的球的表面积为（ ）
A．100π
B．50π
C．25π
D．

二、解答题

9. 难度：中等

已知，则n=    ．

10. 难度：中等

抛物线y=4x²的焦点坐标是    ．

11. 难度：中等

程序框图如图所示，现输入如下四个函数：，f（x）=x⁴，f（x）=2^x，f（x）=sinx，则可以输出的函数是    ．

12. 难度：中等

如图是函数 （x∈[0，π]）的图象，其中B为顶点，若在f（x）的图象与x轴所围成的区域内任意投进一个点P，则点P落在△ABO内的概率为    ．

13. 难度：中等

若关于x的不等式x²-4x≥m对任意x∈[0，1]恒成立，则实数m的取值范围是    ．

14. 难度：中等

如图所示，过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C，D两点，AB切⊙O于B，弦MN过CD的中点P．已知AC=4，AB=6，则MP•NP=    ．

15. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）已知曲线M：ρ²-2ρcosθ-4ρsinθ+1=0，则圆心M到直线（t为参数）的距离为    ．

16. 难度：中等

已知函数．
（I）求函数f（x）的最小值和最小正周期；
（II）设△ABC的内角A、B、C的对边分别a、b、c，且，求三角形ABC的外接圆面积．

17. 难度：中等

甲和乙参加有奖竞猜闯关活动，活动规则：①闯关过程中，若闯关成功则继续答题；若没通关则被淘汰；②每人最多闯3关；③闯第一关得10万奖金，闯第二关得20万奖金，闯第三关得30万奖金，一关都没过则没有奖金．已知甲每次闯关成功的概率为，乙每次闯关成功的概率为．
（1）设乙的奖金为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
（2）求甲恰好比乙多30万元奖金的概率．

18. 难度：中等

如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都等于2，∠ABC=60°，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，∠A₁AC=90°．M是BB₁的中点，N在BD上，3BN=ND
（Ⅰ）证明：MN∥平面A₁DC₁；
（Ⅱ）求二面角D-A₁A-C的大小．

19. 难度：中等

如图，在Rt△PAB中，∠A是直角，PA=4，AB=3，有一个椭圆以P为一个焦点，另一个焦点Q在AB上，且椭圆经过点A、B．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若以PQ所在直线为x轴，线段PQ的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，求椭圆的方程；
（3）在（2）的条件下，若经过点Q的直线l将Rt△PAB的面积分为相等的两部分，求直线l的方程．

20. 难度：中等

对于数列{b_n}，2
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设，，（n∈N^*），求证．b_n≤a_n．

21. 难度：中等

已知函数f（x）（x∈R）满足下列条件：对任意的实数x₁，x₂都有λ（x₁-x₂）²≤（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]和|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|，其中λ是大于0的常数，设实数a，a，b满足f（a）=0和b=a-λf（a）
（Ⅰ）证明λ≤1，并且不存在b≠a，使得f（b）=0；
（Ⅱ）证明（b-a）²≤（1-λ²）（a-a）²；