2010-2011学年广东省广州市东风中学高三数学综合训练试卷4（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={x|x＜1}，N={x|2^x＞1}，则M∩N=（ ）
A．∅
B．{x|x＜0}
C．{x|x＜1}
D．{x|0＜x＜1}

2. 难度：中等

已知a是实数，（a-i）（1+i）是纯虚数（i是虚数单位），则a=（ ）
A．1
B．-1
C．
D．-

3. 难度：中等

等于（ ）
A．±
B．
C．-
D．

4. 难度：中等

设条件p：a＞0；条件q：a²+a≥0，那么p是q的什么条件（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充分且必要条件
D．非充分非必要条件

5. 难度：中等

如图，在半径为R的圆内随机撒一粒黄豆，它落在阴影部分内接正三角形上的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款．据《法制晚报》报道，2009年8月15日至8月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如图是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为（ ）

A．2160
B．2880
C．4320
D．8640

7. 难度：中等

在△ABC中，点P在BC上，且，点Q是AC的中点，若，，则=（ ）
A．（-2，7）
B．（-6，21）
C．（2，-7）
D．（6，-21）

8. 难度：中等

如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为（n≥2），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，，，…，则第10行第4个数（从左往右数）为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

9. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，a₁=1，公比q=2，若{a_n}前n项和S_n=127，则n的值为    ．

10. 难度：中等

某算法的程序框如图所示，若输出结果为，则输入的实数x的值是     ．
（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”）

11. 难度：中等

有一个底面圆半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为    ．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=若f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为    

13. 难度：中等

如图，点O为正方体ABCD-A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的面上的正投影可能是    （填出所有可能的序号）．

14. 难度：中等

如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB，垂足为D，且AD=5DB，设∠COD=θ，则tanθ的值为    ．

15. 难度：中等

在极坐标系中，已知两点A、B的极坐标分别为（3，），（4，），则△AOB（其中O为极点）的面积为    ．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若函数的图象关于直线对称，求φ的值．

17. 难度：中等

某公司为庆祝元旦举办了一个抽奖活动，现场准备的抽奖箱里放置了分别标有数字1000、800﹑600、0的四个球（球的大小相同）．参与者随机从抽奖箱里摸取一球（取后即放回），公司即赠送与此球上所标数字等额的奖金（元），并规定摸到标有数字0的球时可以再摸一次﹐但是所得奖金减半（若再摸到标有数字0的球就没有第三次摸球机会），求一个参与抽奖活动的人可得奖金的期望值是多少元．

18. 难度：中等

如图，正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD，线段CD为圆O的弦，AE垂直于圆O所在平面，垂足E是圆O上异于C、D的点，AE=3，圆O的直径为9．
（1）求证：平面ABCD⊥平面ADE；
（2）求二面角D-BC-E的平面角的正切值．

19. 难度：中等

已知a∈R，函数，g（x）=（lnx-1）e^x+x（其中e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；
（2）是否存在实数x∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x处的切线与y轴垂直？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

已知点F（0，1），直线l：y=-1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）已知圆M过定点D（0，2），圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A、B两点，设|DA|=l₁，|DB|=l₂，求的最大值．

21. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意的n∈N^*，都有a_n＞0，．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）证明：a_2n+1ⁿ≥a_2nⁿ+a_2n-1ⁿ．