2007-2008学年广东省华南师大附中高三综合测试数学试卷2（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

函数y=log₂（1-x）的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

若是θ第二象限角，则下列四个值中，恒小于零的是（ ）
A．sin2θ
B．cos2θ
C．sin
D．cos

3. 难度：中等

已知a＞0，函数f（x）=x³-ax在[1，+∞）上是单调增函数，则a的最大值是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

4. 难度：中等

在各项都为正数的等比数列{a_n}中，首项a₁=3，前三项和为21，则a₃+a₄+a₅=（ ）
A．33
B．72
C．84
D．189

5. 难度：中等

如图所示，曲线y=x²和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），其面积是（ ）

A．1
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知f（x）=2x³-6x²+m（m为常数）在[-2，2]上有最大值3，那么此函数在[-2，2]上的最小值是（ ）
A．-37
B．-29
C．-5
D．以上都不对

7. 难度：中等

若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函披为“同族函数”，那么函数解析式为y=x²，值域为{0，1}的“同族函数”共有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

8. 难度：中等

已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且为偶函数，对于函数y=f（x）有下列几种描述，其中描述正确的是（ ）
①y=f（x）是周期函数；②x=π是它的一条对称轴
③（-π，0）是它图象的一个对称中心；④当时，它一定取最大值
A．①②
B．①③
C．②④
D．②③

二、解答题

9. 难度：中等

已知等差数列{a_n}前17项和S₁₇=51，则a₇+a₁₁=    ．

10. 难度：中等

若=9，则a=    ；=    ．

11. 难度：中等

在4和67之间插入一个n项的等差数列后，仍是一个等差数列，且新等差数列的所有项之和等于781，则n的值为    ．

12. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域[0，1），则函数f（cosx）的定义域是    ．

13. 难度：中等

△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，如果a，b，c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b=    ．

14. 难度：中等

规定一种运算：a⊗b=，例如：1⊗2=1，3⊗2=2，则函数f（x）=sinx⊗cosx的值域为    ．

15. 难度：中等

已知函数，
（Ⅰ）求证：函数f（x）是偶函数；
（Ⅱ）判断函数f（x）分别在区间（0，2]，[2，+∞）上的单调性，并加以证明．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=a+bsinx+ccosx（其中b＞0）的图象经过点A（0，1）、B（）．当时，f（x）的最大值为．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）由y=sinx的图象经过怎样的变换可得到f（x）的图象．

17. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^*
（1）证明数列{a_n-n}为等比数列
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

18. 难度：中等

如图，四边形ABCD是一个边长为100米的正方形地皮，其中ATPS是一半径为90米的扇形小山，其余部分都是平地，P是弧TS上一点，现有一位开发商想在平地上建造一个两边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR，求长方形停车场PQCR面积的最大值．

19. 难度：中等

已知b＞-1，c＞0，函数f（x）=x+b的图象与函数g（x）=x²+bx+c的图象相切．
（1）设b=ϕ（c），求ϕ（c）；
（2）是否存在常数c，使得函数H（x）=f（x）g（x）在（-∞，+∞）内有极值点．若存在，求出c的取值范围；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

已知函数y=f（x），若存在x，使得f（x）=x，则x称是函数y=f（x）的一个不动点，设．
（1）求函数y=f（x）的不动点；
（2）对（1）中的二个不动点a、b（假设a＞b），求使恒成立的常数k的值；
（3）对由a₁=1，a_n=f（a_n-1）定义的数列{a_n}，求其通项公式a_n．