2011年广东省广州市仲元中学高三数学专题训练：圆锥曲线方程（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

方程2x²+ky²=1表示的曲线是长轴在y轴的椭圆，则实数k的范围是（ ）
A．（0，+∞）
B．（2，+∞）
C．（0，2）
D．（2，0）

2. 难度：中等

抛物线y²=ax（a≠0）的焦点到其准线的距离是（ ）
A．
B．
C．|a|
D．-

3. 难度：中等

一动圆圆心在抛物线x²=4y上，动圆过抛物线的焦点F，并且恒与直线l相切，则直线l的方程为（ ）
A．x=1
B．y=-1
C．x=
D．y=-

4. 难度：中等

椭圆+=1的左、右焦点是F₁、F₂，P是椭圆上一点，若|PF₁|=3|PF₂|，则P点到左准线的距离是（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8

5. 难度：中等

双曲线C和椭圆4x²+y²=1有相同的焦点，它的一条渐近线为y=x，则双曲线C的方程为（ ）
A．4x²-2y²=1
B．2x²-y²=1
C．4x²-2y²=-1
D．2x²-y²=-1

6. 难度：中等

F₁，F₂是椭圆C：+=1的两个焦点，在C上满足PF₁⊥PF₂的点P的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4

7. 难度：中等

已知抛物线y²=4x上的点P到抛物线的准线的距离为d₁，到直线3x-4y+9=0的距离为d₂，则d₁+d₂的最小值是（ ）
A．
B．
C．2
D．

8. 难度：中等

若椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，线段F₁F₂被抛物线y²=2bx的焦点分成5：3两段，则此椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

若抛物线y²=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则p的值为（ ）
A．-2
B．2
C．-4
D．4

10. 难度：中等

设O为坐标原点，F为抛物线y²=4x的焦点，A是抛物线上一点，若=-4则点A的坐标是（ ）
A．（2，±2）
B．（1，±2）
C．（1，2）
D．（2，2）

11. 难度：中等

设椭圆=1（a＞0，b＞0）的离心率e=，右焦点F（c，0），方程ax²+bx-c=0的两个根分别为x₁，x₂，则点P（x₁，x₂）在（ ）
A．圆x²+y²=2内
B．圆x²+y²=2上
C．圆x²+y²=2外
D．以上三种情况都有可能

12. 难度：中等

（理）P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆（x+5）²+y²=1和（x-5）²+y²=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9

二、解答题

13. 难度：中等

若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是，则椭圆的标准方程是    ．

14. 难度：中等

过双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于    ．

15. 难度：中等

过双曲线x²-y²=4的右焦点F作倾斜角为105的直线，交双曲线于P、Q两点，则|FP|•|FQ|的值为    ．

16. 难度：中等

以下四个关于圆锥曲线的命题中
①设A、B为两个定点，k为非零常数，||-||=k，则动点P的轨迹为双曲线；
②设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若=（+），则动点P的轨迹为椭圆；
③方程2x²-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线-=1与椭圆+y²=1有相同的焦点．
其中真命题的序号为    （写出所有真命题的序号）

17. 难度：中等

求两条渐近线为x+2y=0和x-2y=0且截直线x-y-3=0所得的弦长为的双曲线方程．

18. 难度：中等

已知曲线C的方程为kx²+（4-k）y²=k+1（k∈R）．
（1）若曲线C是椭圆，求k的取值范围；
（2）若曲线C是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程；
（3）满足（2）的双曲线上是否存在两点P、Q关于直线l：y=x-1对称，若存在，求出过P、Q的直线方程；若不存在，说明理由．

19. 难度：中等

已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点）．求k的取值范围．

20. 难度：中等

设抛物线过定点A（2，0），且以直线x=-2为准线．
（1）求抛物线顶点的轨迹C的方程；
（2）已知点B（0，-5），轨迹C上是否存在满足•=0的M、N两点？证明你的结论．

21. 难度：中等

飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排三个救援中心（记为A，B，C），B在A的正东方向，相距6km，C在B的北偏东30°，相距4km，P为航天员着陆点，某一时刻A接到P的求救信号，由于B、C两地比A距P远，因此4s后，B、C两个救援中心才同时接收到这一信号，已知该信号的传播速度为1km/s．
（1）求A、C两个救援中心的距离；
（2）求在A处发现P的方向角；
（3）若信号从P点的正上方Q点处发出，则A、B收到信号的时间差变大还是变小，并证明你的结论．

22. 难度：中等

（理科）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，一条经过点（3，-）且方向向量为的直线l交椭圆C于A、B两点，交x轴于M点，又．
（1）求直线l方程；  
（2）求椭圆C长轴长取值的范围．