2008-2009学年广东省华南师大附中高三综合测试数学试卷3（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若复数（1+bi）（2+i）是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b=（ ）
A．2
B．
C．
D．-2

2. 难度：中等

与函数y=0.1^lg（2x-1）的图象相同的函数解析式是（ ）
A．y=2x-1（x＞）
B．y=
C．y=（x＞）
D．y=||

3. 难度：中等

直线2x+ay+3=0的倾斜角为120°，则a的值是（ ）
A．
B．-
C．2
D．-2

4. 难度：中等

给定两个向量，，若，则x的等于（ ）
A．-3
B．
C．3
D．

5. 难度：中等

若x，y满足不等式组，则3x-y的最小值为（ ）
A．8
B．-6
C．2
D．-2

6. 难度：中等

已知椭圆的两条准线间的距离是这个椭圆的焦距的两倍，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知x＜0，则函数有（ ）
A．最小值6
B．最大值6
C．最小值-2
D．最大值-2

8. 难度：中等

已知向量a=（2cosα，2sinα），b=（3cosβ，3sinβ），a与b的夹角为60°，则直线xcosα-ysinα+1=0与圆（x-cosβ）²+（y+sinβ）²=1的位置关系是（ ）
A．相切
B．相交
C．相离
D．随α，β的值而定

9. 难度：中等

在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b=a；当a＜b时，a⊕b=b²．则函数f（x）=（1⊕x）•x-（2⊕x）（x∈[-2，2]）的最大值等于（ ）
A．-1
B．1
C．6
D．12

10. 难度：中等

已知函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可能为（ ）

A．f（x）=2cos（-）
B．f（x）=cos（4x+）
C．f（x）=2sin（-）
D．f（x）=2sin（4x+）

二、解答题

11. 难度：中等

（文）等比数列{a_n}中，a₁+a₂=30，a₃+a₄=60，则a₇+a₈=    ．

12. 难度：中等

极坐标系中，直线l的方程为ρsinθ=3，则点到直线l的距离为    ．

13. 难度：中等

若点P（x，y）是曲线C：（θ为参数，0≤θ＜π）上的任意一点，则的取值范围是    ．

14. 难度：中等

以下命题：
①二直线平行的充要条件是它们的斜率相等；
②过圆上的点（x，y）与圆x²+y²=r²相切的直线方程是；
③平面内到两定点的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆；
④抛物线上任意一点M到焦点的距离都等于点M到其准线的距离．
其中正确命题的标号是    ．

15. 难度：中等

设函数的最大值为M，最小正周期为T．
（1）求M、T；
（2）求f（x）的单调递减区间．

16. 难度：中等

如图，己知椭圆长轴|A₁A₂|=6．焦距．过椭圆焦点F₁作一直线，交椭圆于两点M，N．
（1）求椭圆的方程；
（2）当时，求|MN|的长．

17. 难度：中等

某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为吨，（0≤t≤24）
（1）从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？
（2）若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象．

18. 难度：中等

已知等差数列{a_n}中，公差d＞0，其前n项和为S_n，且满足：a₂•a₃=45，a₁+a₄=14．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）通过公式构造一个新的数列{b_n}．若{b_n}也是等差数列，求非零常数c；
（Ⅲ）求（n∈N^*）的最大值．

19. 难度：中等

已知函数的定义域为[m，n]，且1≤m＜n≤2．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）证明：对任意x₁、x₂∈[m，n]，不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜1．

20. 难度：中等

已知圆C：（x+4）²+y²=4，圆D的圆心D在y 轴上且与圆C外切，圆D与y 轴交于A、B两点，定点P的坐标为（-3，0）．
（1）若点D（0，3），求∠APB的正切值；
（2）当点D在y轴上运动时，求∠APB的最大值；
（3）在x轴上是否存在定点Q，当圆D在y轴上运动时，∠AQB是定值？如果存在，求出Q点坐标；如果不存在，说明理由．