2011-2012学年广东省广州市高三12月调研数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={1，2}，B={-2，1，2}，则A∩B等于（ ）
A．{-2}
B．{1}
C．{1，2}
D．{-1，1，2}

2. 难度：中等

已知函数，若f（1）=f（-1），则实数a的值等于（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

3. 难度：中等

设复数z₁=3-4i，z₂=-2+3i，则z₁-z₂在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

4. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₃=3，S₃=6，则a₁₀的值是（ ）
A．1
B．3
C．10
D．55

5. 难度：中等

已知向量=（2，1），=（x，-2），若∥，则+等于（ ）
A．（-2，-1）
B．（2，1）
C．（3，-1）
D．（-3，1）

6. 难度：中等

直线y=k（x+1）与圆x²+y²=1的位置关系是（ ）
A．相离
B．相切
C．相交
D．与k的取值有关

7. 难度：中等

已知函数，下面结论错误的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期为π
B．函数f（x）是奇函数
C．函数f（x）的图象关于直线对称
D．函数f（x）在区间上是减函数

8. 难度：中等

设一个球的表面积为S₁，它的内接正方体的表面积为S₂，则的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知实数x，y满足，若目标函数z=ax+y（a≠0）取得最小值时最优解有无数个，则实数a的值为（ ）
A．-1
B．
C．
D．1

10. 难度：中等

定义：若函数f（x）的图象经过变换T后所得图象对应函数的值域与f（x）的值域相同，则称变换T是f（x）的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换T，其中T不属于f（x）的同值变换的是（ ）
A．f（x）=（x-1）²，T将函数f（x）的图象关于y轴对称
B．f（x）=2^x-1-1，T将函数f（x）的图象关于x轴对称
C．f（x）=2x+3，T将函数f（x）的图象关于点（-1，1）对称
D．，T将函数f（x）的图象关于点（-1，0）对称

二、解答题

11. 难度：中等

在区间（0，1）内任取两个实数，则这两个实数之和小于0.8的概率是    ．

12. 难度：中等

已知程序框图如图，则输出的i=    ．

13. 难度：中等

已知直线y=k（x-2）（k＞0）与抛物线y²=8x相交于A、B两点，F为抛物线的焦点，若|FA|=2|FB|，则k的值为    ．

14. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）
如图，AB是圆O的直径，直线CE与圆O相切于点C，AD⊥CE于点D，若圆O的面积为4π，∠ABC=30°，则AD的长为    ．

15. 难度：中等

（极坐标与参数方程选做题）
在极坐标系中，点A的坐标为，曲线C的方程为ρ=2cosθ，则OA（O为极点）所在直线被曲线C所截弦的长度为    ．

16. 难度：中等

如图，在△ABC中，点D在BC边上，AD=33，，cos∠ADC=．
（1）求sin∠ABD的值；
（2）求BD的长．

17. 难度：中等

某城市为准备参加“全国文明城市”的评选，举办了“文明社区”评选的活动，在第一轮暗访评分中，评委会对全市50个社区分别从“居民素质”和“社区服务”两项进行评分，每项评分均采用5分制，若设“社区服务”得分为x分，“居民素质”得分为y分，统计结果如下表：

居民素质
1分	2分	3分	4分	5分
1分	1	3	1		1
2分	1		7	5	1
3分	2	1		9	3
4分	a	b	6		1
5分			1	1	3

（1）若“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于3分（即x≥3且y≥3）的社区可以进入第二轮评比，现从50个社区中随机选取一个社区，求这个社区能进入第二轮评比的概率；
（2）若在50个社区中随机选取一个社区，这个社区的“居民素质”得分y的均值（即数学期望）为，求a、b的值．

18. 难度：中等

各项均为正数的数列{a_n}，满足a₁=1，（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列的前n项和S_n．

19. 难度：中等

如图所示，已知正方形ABCD的边长为2，AC∩BD=O．将正方形ABCD沿对角BD折起，得到三棱锥A-BCD．
（1）求证：平面AOC⊥平面BCD；
（2）若三棱锥A-BCD的体积为，求AC的长．

20. 难度：中等

设椭圆的右焦点为F₁，直线与x轴交于点A，若（其中O为坐标原点）．
（1）求椭圆M的方程；
（2）设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N：x²+（y-2）²=1的任意一条直径（E、F为直径的两个端点），求的最大值．

21. 难度：中等

已知函数（a∈R）．
（1）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若对于任意x∈[1，+∞）都有f'（x）＜2（a-1）成立，求实数a的取值范围；
（3）若过点可作函数y=f（x）图象的三条不同切线，求实数a的取值范围．