2010年广东省广州一中高三数学二轮复习：圆锥曲线（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知双曲线C：2x²-y²=2与点P（1，2）
（1）求过P（1，2）点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点．
（2）若Q（1，1），试判断以Q为中点的弦是否存在．

2. 难度：中等

已知某椭圆的焦点是F₁（-4，0）、F₂（4，0），过点F₂，并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F₁B|+|F₂B|=10．椭圆上不同的两点A（x₁，y₁）、C（x₂，y₂）满足条件：|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差数列．
（1）求该椭圆的方程；
（2）求弦AC中点的横坐标；
（3）设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围．

3. 难度：中等

如图所示，已知P（4，0）是圆x²+y²=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程．

二、选择题

4. 难度：中等

椭圆的焦距是它的两条准线间距离的，则它的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

若抛物线y²=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则p的值为（ ）
A．-2
B．2
C．-4
D．4

6. 难度：中等

设定点M（3，）与抛物线y²=2x上的点P的距离为d₁，P到抛物线准线l的距离为d₂，则d₁+d₂取最小值时，P点的坐标为（ ）
A．（0，0）
B．（1，）
C．（2，2）
D．（）

7. 难度：中等

抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点P（m，-3）到焦点的距离为5，则抛物线的准线方程是（ ）
A．y=4
B．y=-4
C．y=2
D．y=-2

8. 难度：中等

设F（c，0）为椭圆的右焦点，椭圆上的点与点F的距离的最大值为M，最小值为m，则椭圆上与F点的距离是的点是（ ）
A．（）
B．（0，±b）
C．（）
D．以上都不对

9. 难度：中等

已知双曲线3x²-y²=9，则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点x₂到右准线的距离之比等于（ ）
A．
B．
C．2
D．4

10. 难度：中等

斜率为1的直线l与椭圆+y²=1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为（ ）
A．2
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知椭圆的焦点是F₁、F₂，P是椭圆上的一个动点，如果延长F₁P到Q，使得|PQ|=|PF₂|，那么动点Q的轨迹是（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线的一支
D．抛物线

12. 难度：中等

P是椭圆=1上的动点，过P作椭圆长轴的垂线，垂足为M，则PM中点的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．=1

13. 难度：中等

设A₁、A₂是椭圆=1的长轴两个端点，P₁、P₂是垂直于A₁A₂的弦的端点，则直线A₁P₁与A₂P₂交点的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

14. 难度：中等

P是抛物线上的动点，点A（0，-1），点M在直线PA上且分PA所成的比为2：1，则点M的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

15. 难度：中等

已知两点M（-2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足=0，则动点P（x，y）的轨迹方程为（ ）
A．y²=8
B．y²=-8
C．y²=4
D．y²=-4

三、解答题

16. 难度：中等

直线l的方程为y=x+3，在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x²-4y²=3的焦点为椭圆的焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为    ．

17. 难度：中等

在抛物线y²=16x内，通过点（2，1）且在此点被平分的弦所在直线的方程是    ．

18. 难度：中等

A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P，使，则椭圆离心率的范围是    ．

19. 难度：中等

已知抛物线y=x²-1上一定点B（-1，0）和两个动点P、Q，当P在抛物线上运动时，BP⊥PQ，则Q点的横坐标的取值范围是    ．

20. 难度：中等

高为5m和3m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A（-5，0）、B（5，0），则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是    ．

21. 难度：中等

已知点A（0，-2），B（0，4），动点P（x，y）满足，则动点P的轨迹方程是    ．

22. 难度：中等

设椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率．已知点到这个椭圆上的点的最远距离为，求这个椭圆方程．

23. 难度：中等

已知中心在原点，顶点A₁、A₂在x轴上，离心率e=的双曲线过点P（6，6）．
（1）求双曲线方程．
（2）动直线l经过△A₁PA₂的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问：是否存在直线l，使G平分线段MN，证明你的结论．

24. 难度：中等

如图，已知圆C₁的方程为，椭圆C₂的方程为（a＞b＞0），C₂的离心率为，如果C₁与C₂相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C₁的直径，求直线AB的方程和椭圆C₂的方程．

25. 难度：中等

如图，为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变．
（1）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；
（2）过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设=λ，求λ的取值范围．

26. 难度：中等

已知椭圆+=1=1（a＞b＞0），点P为其上一点，F₁、F₂为椭圆的焦点，∠F₁PF₂的外角平分线为l，点F₂关于l的对称点为Q，F₂Q交l于点R．
（1）当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；
（2）设点R形成的曲线为C，直线l：y=k（x+a）与曲线C相交于A、B两点，当△AOB的面积取得最大值时，求k的值．

27. 难度：中等

如图，已知点F（1，0），直线l：x=-1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且=．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，已知，，求λ₁+λ₂的值．

28. 难度：中等

过点（1，0）的直线与中心在原点，焦点在x轴上且率心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB中点，同时椭圆C上存在一眯与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程．