2011-2012学年广东省广州市高三12月调研数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U={-2，-1，0，1，2}，集合A={1，2}，B={-2，1，2}，则A∪（∁_UB）等于（ ）
A．∅
B．{1}
C．{1，2}
D．{-1，0，1，2}

2. 难度：中等

设复数z₁=3-4i，z₂=-2+3i，则z₁-z₂在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

3. 难度：中等

已知向量=（2，1），=（x，-2），若∥，则+等于（ ）
A．（-2，-1）
B．（2，1）
C．（3，-1）
D．（-3，1）

4. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₅=8，S₃=6，则S₁₀-S₇的值是（ ）
A．24
B．48
C．60
D．72

5. 难度：中等

设随机变量X～N（1，5²），且P（X≤0）=P（X＞a-2），则实数a的值为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10

6. 难度：中等

在正四棱锥V-ABCD中，底面正方形ABCD的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA与BD所成角的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知函数，给出下面四个命题：
①函数f（x）的最小正周期为π；
②函数f（x）是偶函数；
③函数f（x）的图象关于直线对称；
④函数f（x）在区间上是增函数，
其中正确命题的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

8. 难度：中等

定义：若函数f（x）的图象经过变换T后所得图象对应函数的值域与f（x）的值域相同，则称变换T是f（x）的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换T，其中T不属于f（x）的同值变换的是（ ）
A．f（x）=（x-1）²，T将函数f（x）的图象关于y轴对称
B．f（x）=2^x-1-1，T将函数f（x）的图象关于x轴对称
C．f（x）=2x+3，T将函数f（x）的图象关于点（-1，1）对称
D．，T将函数f（x）的图象关于点（-1，0）对称

二、解答题

9. 难度：中等

展开式中x⁴的系数为    （用数字作答）．

10. 难度：中等

向面积为9的△ABC内任投一点P，那么△PBC的面积小于3的概率是    ．

11. 难度：中等

已知程序框图如图，则输出的i=    ．

12. 难度：中等

已知实数x，y满足若目标函数z=ax+y（a≠0）取得最小值时的最优解有无数个，则实数a的值为    ．

13. 难度：中等

已知直线y=k（x-2）（k＞0）与抛物线y²=8x相交于A、B两点，F为抛物线的焦点，若|FA|=2|FB|，则k的值为    ．

14. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）
如图，AB是圆O的直径，直线CE与圆O相切于点C，AD⊥CE于点D，若圆O的面积为4π，∠ABC=30°，则AD的长为    ．

15. 难度：中等

（极坐标与参数方程选做题）
在极坐标系中，点A的坐标为，曲线C的方程为ρ=2cosθ，则OA（O为极点）所在直线被曲线C所截弦的长度为    ．

16. 难度：中等

如图，在△ABC中，点D在BC边上，AD=33，，cos∠ADC=．
（1）求sin∠ABD的值；
（2）求BD的长．

17. 难度：中等

某城市为准备参加“全国文明城市”的评选，举办了“文明社区”评选的活动，在第一轮暗访评分中，评委会对全市50个社区分别从“居民素质”和“社区服务”两项进行评分，每项评分均采用5分制，若设“社区服务”得分为x分，“居民素质”得分为y分，统计结果如下表：

居民素质
1分	2分	3分	4分	5分
1分	1	3	1		1
2分	1		7	5	1
3分	2	1		9	3
4分	a	b	6		1
5分			1	1	3

（1）若“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于3分（即x≥3且y≥3）的社区可以进入第二轮评比，现从50个社区中随机选取一个社区，求这个社区能进入第二轮评比的概率；
（2）若在50个社区中随机选取一个社区，这个社区的“居民素质”得分y的均值（即数学期望）为，求a、b的值．

18. 难度：中等

已知正方形ABCD的边长为2，AC∩BD=O．将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC=a，得到三棱锥A-BCD，如图所示． 
（1）当a=2时，求证：AO⊥平面BCD；
（2）当二面角A-BD-C的大小为120°时，求二面角A-BC-D的正切值．

19. 难度：中等

设椭圆的右焦点为F₁，直线与x轴交于点A，若（其中O为坐标原点）．
（1）求椭圆M的方程；
（2）设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N：x²+（y-2）²=1的任意一条直径（E、F为直径的两个端点），求的最大值．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，且a_n+1=a_n+2a_n-1（n≥2）．
（1）设b_n=a_n+1+λa_n，是否存在实数λ，使数列{b_n}为等比数列．若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（2ax+1）+-x²-2ax（a∈R）．
（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；
（2）若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
（3）当a=-时，方程f（1-x）=有实根，求实数b的最大值．