2008-2009学年广东省中山市纪念中学、深圳市外国语学校、广州市执信中学高三联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

计算（1+i）⁴的结果是（ ）
A．4
B．4i
C．-4
D．-4i

2. 难度：中等

函数f（x）=alnx+x在x=1处取到极值，则a的值为（ ）
A．
B．-1
C．0
D．

3. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f（1）+f（4）+f（7）等于（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．4

4. 难度：中等

“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z=y-x的取值范围是（ ）
A．[-2，-1]
B．[-2，1]
C．[-1，2]
D．[1，2]

6. 难度：中等

如图，设平面α∩β=EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足．分别为B，D，若增加一个条件，就能推出BD⊥EF．现有①AC⊥β；②AC与α，β所成的角相等；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF．那么上述几个条件中能成为增加条件的个数是（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

7. 难度：中等

若直线通过点M（cosα，sinα），则（ ）
A．a²+b²≤1
B．a²+b²≥1
C．
D．

8. 难度：中等

设[x]表示不超过x的最大整数（如[2]=2，[]=1），对于给定的n∈N^*，定义，x∈[1，+∞），则当x∈时，函数C₈^x的值域是（ ）
A．
B．
C．[28，56）
D．

二、解答题

9. 难度：中等

∫¹（2x^k+1）dx=2，则k=    ．

10. 难度：中等

展开式中的常数项是    （用数字作答）．

11. 难度：中等

已知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为     ．

12. 难度：中等

用流程线将下列图形符号：

连接成一个求实数x的绝对值的程序框图．则所求框图为    ．

13. 难度：中等

极坐标方程分别为ρ=2cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距为    ．

14. 难度：中等

若不等式＞|a-2|+1对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是    ．

15. 难度：中等

如图，PT切圆O于点T，PA交圆O于A、B两点，且与直径CT交于点D，CD=2，AD=3，BD=6，则PB=    ．

16. 难度：中等

已知向量．
（1）若，求向量的夹角；
（2）已知，且，当时，求x的值并求f（x）的值域．

17. 难度：中等

如图，A、B两点有5条连线并联，它们在单位时间内通过的信息量依次为2，3，4，3，2．现在任取三条线且记在单位时间内通过的信息总量为ξ．
（Ⅰ）写出信息总量ξ的分布列；
（Ⅱ）求信息总量ξ的数学期望．

18. 难度：中等

a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的两根，数列{a_n}是公差为正的等差数列，数列{b_n}的前n项和为T_n，且T_n=1-b_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；  
（2）记c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

19. 难度：中等

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，．∠ABC=60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=a，点M在线段EF上．
（1）求证：BC⊥平面ACFE；
（2）当EM为何值时，AM∥平面BDF？证明你的结论；
（3）求二面角B-EF-D的平面角的余弦值．

20. 难度：中等

已知定点F（1，0）和定直线x=-1，M，N是定直线x=-1上的两个动点且满足，动点P满足∥，∥（其中O为坐标原点）．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点F的直线l与C相交于A，B两点
①求的值；
②设，当三角形OAB的面积时，求λ的取值范围．

21. 难度：中等

设函数f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若当时，（其中e=2.718…）不等式f（x）＜m恒成立，
求实数m的取值范围；
（3）试讨论关于x的方程：f（x）=x²+x+a在区间[0，2]上的根的个数．