2011-2012学年河北省石家庄市正定中学高三第三次考试数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合，则集合{x|x≥1}为（ ）
A．M∩N
B．M∪N
C．C_R（M∩N）
D．C_R（M∪N）

2. 难度：中等

复（i是虚数单位）的虚部为（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2

3. 难度：中等

下列选项错误的是（ ）
A．α，β表示两个不同平面，l表示直线，“若α⊥β，则l⊂α，l⊥β”的逆命题为真命题
B．“x＞2”是“x²-3x+2＞0”的充分不必要条件
C．命题p：存在x∈R，使得，则￢p：任意x∈R，都有x²+x+1≥0
D．若p且q为假命题，则p、q均为假命题

4. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和，则当n≥2时，有（ ）
A．S_n＞na₁＞na_n
B．S_n＜na_n＜na₁
C．na_n＞S_n＞na₁
D．na_n＜S_n＜na₁

5. 难度：中等

已知函数，下面四个结论中正确的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期为2π
B．函数f（x）的图象关于直线对称
C．函数f（x）的图象是由y=2cos2x的图象向左平移个单位得到
D．函数是奇函数

6. 难度：中等

若是夹角为的单位向量，且，，则=（ ）
A．1
B．-4
C．
D．

7. 难度：中等

等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_2n=4（a₁+a₃+…+a_2n-1），a₁a₂a₃=27，则a₆=（ ）
A．27
B．81
C．243
D．729

8. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a+b=5，则c等于（ ）
A．
B．
C．4
D．

9. 难度：中等

在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折叠，其正视图和俯视图如图所示．此时连接顶点B、D形成三棱锥B-ACD，则其侧视图的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

方程=k（k＞0）有且仅有两个不同的实数解θ，φ（θ＞φ），则以下有关两根关系的结论正确的是（ ）
A．sinφ=φcosθ
B．sinφ=-φcosθ
C．cosφ=θsinθ
D．sinθ=-θsinφ

11. 难度：中等

如图所示，目标函数z=ax-y的可行域为四边形OACB（含边界）若是该目标函数z=ax-y的最优解，则a的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是（ ）
A．（0，）
B．（1，）
C．（，）
D．（0，）

二、解答题

13. 难度：中等

=    ．

14. 难度：中等

△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且，，则=    ．

15. 难度：中等

若函数f（x）=x²+2a|x|+4a²-3的零点有且只有一个，则实数a=    ．

16. 难度：中等

给出定义：若m-（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m在此基础上给出下列关于函数f（x）=x-{x}的四个命题：①f（-）=；②f（3.4）=-0.4；③f（-）＜f（）；④y=f（x）的定义域是R，值域是[-]；则其中真命题的序号是    ．

17. 难度：中等

数列{a_n}中，a₁=1，且点（a_n，a_n+1）在直线l：2x-y+1=0上．
（Ⅰ）设b_n=a_n+1，求证：{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）设C_n=n（3a_n+2），求{C_n}的前n项和．

18. 难度：中等

从集合{1，2，3，4，5}的所有非空子集中，等可能地取出一个．
（Ⅰ）记性质r：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r的概率；
（Ⅱ）记所取出的非空子集的元素个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ

19. 难度：中等

如图，已知△OFQ的面积为S，且．
（Ⅰ）若，求的范围；
（Ⅱ）设若以O为中心，F为一个焦点的椭圆经过点Q，以c为变量，当取最小值时，求椭圆的方程．

20. 难度：中等

如图，在四棱柱P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=
2a，PA⊥平面ABCD，PD与平面ABCD成30°角．
（Ⅰ）若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；
（Ⅱ）求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．

21. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）若函数f（x）是定义域上的单调函数，求实数a的最小值；
（Ⅱ）方程．有两个不同的实数解，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）在函数f（x）的图象上是否存在不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点的横坐标为x，有f′（x）=成立？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

（坐标系与参数方程）求直线（t为参数）被曲线所截的弦长．

23. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲
如图，已知△ABC，过顶点A的圆与边BC切于BC的中点P，与边AB，AC分别交于点M，N，且CN=2BM，点N平分AC．求证：AM=7BM．

24. 难度：中等

不等式选讲
已知f（x）=|x|+|x-3|，若不等式f（x）＞a-x恒成立，求实数a的取值范围．