2010年广东省广州一中高三数学二轮复习：不等式（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

解不等式：．

2. 难度：中等

关于x的不等式x²-2ax+a+2≤0的解集为M，如果[1，4]⊆M，则实数a的取值范围为    ．

3. 难度：中等

解关于x的不等式：log₂（x-1）＞log₄[a（x-2）+1]（a＞1）．

4. 难度：中等

解关于x的不等式：．

5. 难度：中等

设函数，
（1）当a=2时，解不等式f（x）≤f（1）；
（2）求a的取值范围，使得函数f（x）在[1，+∞）上为单调函数．

6. 难度：中等

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，而且f（1）=-1，若m、n∈[-1，1]，m+n≠0时有 ．
（1）证明f（x）在[-1，1]上为减函数；
（2）解不等式：；
（3）若f（x）≤t²-2at+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

7. 难度：中等

给出一个不等式（x∈R）．
经验证：当c=1，2，3时，对于x取一切实数，不等式都成立．
试问：当c取任何正数时，不等式对任何实数x是否都成立？若能成立，请给出证明；若不成立，请求出c的取值范围，使不等式对任何实数x都能成立．

8. 难度：中等

已知a＞2，求证：log_（a-1）a＞log_a（a+1）

9. 难度：中等

已知a＞0，b＞0，且a+b=1，求证：（a+）（b+）≥．

10. 难度：中等

证明不等式（n∈N^*）

11. 难度：中等

已知不等式2（lo）²+7lo+3≤0的解集为M，求当x∈M时，函数f（x）=（lo）（lo）的最大值和最小值．

12. 难度：中等

已知函数．
（1）判断函数y=log_ax的增减性；
（2）若命题为真命题，求实数x的取值范围．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=tgx，x∈（0，）．若x₁，x₂∈（0，），且x₁≠x₂，
证明[f（x₁）+f（x₂）]＞f（）

14. 难度：中等

设{a_n}是由正数组成的等比数列，S_n是其前n项和．
（1）证明；
（2）是否存在常数c＞0，使得成立？并证明你的结论．

15. 难度：中等

f（x）=lg，其中a是实数，n是任意自然数且n≥2．
（Ⅰ）如果f（x）当x∈（-∞，1]时有意义，求a的取值范围；
（Ⅱ）如果a∈（0，1]，证明2f（x）＜f（2x）当x≠0时成立．

16. 难度：中等

如图，△ABC是某屋顶的断面，CD⊥AB，横梁AB的长是竖梁CD长的2倍．设计时应使y=tanA+2tanB保持最小，试确定D点的位置，并求y的最小值．

17. 难度：中等

在一容器内装有浓度为r%的溶液a升，注入浓度为p%的溶液升，搅匀后再倒出溶液升，这叫做一次操作．
（1）设第n次操作后容器内溶液的浓度为b_n（每次注入的溶液都是p%），计算b₁，b₂，b₃，并归纳出b_n的计算公式（不要求证明）
（2）设p＞q＞r，且p-r=2（p-q）要使容器内溶液浓度不小于q%，问至少要进行上述操作多少次？（已知lg2=0.3010）

18. 难度：中等

某商场经过市场调查分析后得知，2003年从年初开始的前n个月内，对某种商品需求的累计数f（n）（万件）近似地满足下列关系：
（1）问这一年内，哪几个月需求量超过1.3万件？
（2）若在全年销售中，将该产品都在每月初等量投放市场，为了保证该商品全年不脱销，每月初至少要投放多少件商品？（精确到件）

19. 难度：中等

一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a成正比，与它的厚度d的平方成正比，与它的长度l的平方成反比．
（1）将此枕木翻转90°（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷变大吗？为什么？
（2）现有一根横断面为半圆（半圆的半径为R）的木材，用它来截取成长方体形的枕木，木材长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？

20. 难度：中等

现有流量均为300m³/s的两条河流A，B汇合于某处后，不断混合，它们的含沙量分别为2kg/m³和0.2kg/m³．假设从汇合处开始，沿岸设有若干个观测点，两股水流在流往相邻两个观测点的过程中，其混合效果相当于两股水流在1秒内交换100m³的水量，其交换过程为从A股流入B股100m³的水量，经混合后，又从B股流入A股100m³水并混合，问从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于0.01kg/m³．（不考虑泥沙沉淀）．

21. 难度：中等

用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器（如图），设容器的高为h米，盖子边长为a米．
（1）求a关于h的函数解析式；
（2）设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？求出V的最大值．
（求解本题时，不计容器的厚度）