2011-2012学年湖南省永州市蓝山二中高三第六次联考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若A={x|x+1＞0}，B={x|x-3＜0}，x∈Z，则A∩B=（ ）
A．{1，2}
B．{0，1，2}
C．{1，2，3}
D．{0，1，2，3}

2. 难度：中等

一组实验数据如下表，与两个变量之间的关系最接近的是下列关系式中的

t	1.02	1.99	3.01	4.00	5.10	6.12
V	0.01	1.50	4.04	7.50	12.09	18.01

（ ）
A．V=log₂t
B．V=-log₂t
C．V=（t²-1）
D．V=2t-2

3. 难度：中等

已知α、β是两个不同的平面，直线a⊂α，直线b⊂β，命题p：a与b没有公共点，命题q：α∥β，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

直线xsin2-ycos2=0的倾斜角的大小是（ ）
A．-
B．-2
C．
D．2

5. 难度：中等

在一次运动员的选拔中，测得到7名选手身高（单位：cm）分布的茎叶图如图．已知记录的平均身高为174cm，但有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x，那么x的值为（ ）

A．5
B．6
C．7
D．8

6. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输出的n=6，则输入整数p的最大值是（ ）

A．32
B．31
C．15
D．16

7. 难度：中等

设双曲线-=1（a＞0，b＞0）的离心率为，抛物线y²=20x的准线过双曲线的左焦点，则此双曲线的方程为（ ）
A．-=1
B．-=1
C．-=1
D．-=1

8. 难度：中等

已知实系数一元二次方程x²+（1+a）x+a+b+1=0的两个实根为x₁，x₂，且 0＜x₁＜1，x₂＞1，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

9. 难度：中等

sin45°cos15°+cos45°sin15°的值为    ．

10. 难度：中等

若=ad-bc，则复数=    ．

11. 难度：中等

函数y=的最小正周期是    ．

12. 难度：中等

若直线l：y+1=k（x-2）被圆C：x²+y²-2x-24=0截得的弦AB最短，则直线AB的方程是    ．

13. 难度：中等

有一个底面圆半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为    ．

14. 难度：中等

已知向量=（3，4），|-|=1，则||的范围是    ．

15. 难度：中等

某同学在研究函数（x∈R）时，分别给出下面几个结论：①F（-x）+f（x）=0在x∈R时恒成立；②函数f （x）的值域为（-1，1）；③若x₁≠x₂，则一定有f （x₁）≠f （x₂）；④函数g（x）=f（x）-x在R上有三个零点．其中正确结论的序号有     ．

16. 难度：中等

△ABC中，角A、B、C的对应边分别为a、b、c，且满足a²-ab+b²=c²，
（1）求角C；
（2）若△ABC的周长为2，求△ABC面积的最大值．

17. 难度：中等

如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，，M为BC的中点．
（Ⅰ）证明：AM⊥PM；
（Ⅱ）求二面角P-AM-D的大小；
（Ⅲ）求点D到平面AMP的距离．

18. 难度：中等

已知：△ABC为直角三角形，∠C为直角，A（0，-8），顶点C在x轴上运动，M在y轴上，=（+），设B的运动轨迹为曲线E．
（1）求B的运动轨迹曲线E的方程；
（2）过点P（2，4）的直线l与曲线E相交于不同的两点Q、N，且满足=，求直线l的方程．

19. 难度：中等

统计某校高三年级100名学生的数学月考成绩，得到样本频率分布直方图如下图所示，已知前4组的频数分别是等比数列{a_n}的前4项，后6组的频数分别是等差数列{b_n}的前6项，
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设m、n为该校学生的数学月考成绩，且已知m、n∈[70，80）∪[140，150]，求事件|m-n|＞10”的概率．

20. 难度：中等

为了加快经济的发展，某省选择A、B两城市作为龙头带动周边城市的发展，决定在A、B两城市的周边修建城际轻轨，假设10km为一个单位距离，A、B两城市相距8个单位距离，设城际轻轨所在的曲线为E，使轻轨E上的点到A、B两市的距离之和为10个单位距离．
（1）建立直角坐标系，求城际轻轨所在曲线E的方程；
（2）若要在曲线E上建一个加油站M与一个收费站N，使M、N、B三点在一条直线上，并且AM+AN=12个单位距离，求M、N之间的距离有多少个单位距离？
（3）在A、B两城市之间有一条与AB所在直线成45°的笔直公路l，直线l与曲线E交于P，Q两点，求四边形PAQB的面积的最大值．

21. 难度：中等

定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M，都有f（x）≥M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的下界．已知函数f（x）=（x²-3x+3）•e^x，其定义域为[-2，t]（t＞-2），设f（-2）=m，f（t）=n．
（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[-2，t]上为单调递增函数；
（2）试判断m，n的大小，并说明理由；并判断函数f（x）在定义域上是否为有界函数，请说明理由；
（3）求证：对于任意的t＞-2，总存在x∈（-2，t）满足=（t-1）²，并确定这样的x的个数．