2011年广东省广州市仲元中学高三数学专题训练：平面向量（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知向量a=（1，1），b=（2，x），若a+b与4b-2a平行，则实数x的值是（ ）
A．-2
B．0
C．1
D．2

2. 难度：中等

如图，已知=，=，=3，用，表示，则等于（ ）

A．+
B．+
C．+
D．+

3. 难度：中等

已知向量、满足||=1，||=2，|2+|=2，则向量在向量方向上的投影是（ ）
A．-
B．-1
C．
D．1

4. 难度：中等

已知A（3，-6）、B（-5，2）、C（6，-9），则A分的比λ等于（ ）
A．
B．-
C．
D．-

5. 难度：中等

已知||=||=1，与夹角是90°，=2+3，=k-4，与垂直，k的值为（ ）
A．-6
B．6
C．3
D．-3

6. 难度：中等

在△ABC中，若sinBsinC=cos²，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形

7. 难度：中等

若点P分有向线段所成的比为-，则点B分有向线段所成的比是（ ）
A．-
B．-
C．
D．3

8. 难度：中等

已知A，B，C是平面上不共线上三点，O为△ABC外心，动点P满足：（λ∈R且λ≠0），则P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A．内心
B．垂心
C．重心
D．AB边的中点

9. 难度：中等

已知非零向量=（ ）
A．
B．2
C．
D．1

10. 难度：中等

已知平面上不共线的四点O，A，B，C．若-3+2=，则等于（ ）
A．
B．
C．1
D．2

11. 难度：中等

在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于点P，一分钟后，其位置在Q点，且∠POQ=90°，再过二分钟后，该物体位于R点，且∠QOR=60°，则tan²∠OPQ的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．以上均不正确

12. 难度：中等

设a=（a₁，a₂），b=（b₁，b₂），定义一种向量积：a⊗b=（a₁，b₁）⊗（b₁，b₂）=（a₁b₁，a₂b₂）．已知m=，n=，点P（x，y）在y=sin x的图象上运动，点Q在y=f（x）的图象上运动，且满足（x，f（x））=m⊗n（其中O为坐标原点），则y=f（x）的最大值A及最小正周期T分别（ ）
A．2，π
B．2，4π
C．，4π
D．，π

二、解答题

13. 难度：中等

如图，已知=3e₁，=3e₂，C、D是AB的三等分点，则=    ，=    ．

14. 难度：中等

已知三个向量=（k，12），=（4，5），=（10，k），且A、B、C三点共线，则k=    ．

15. 难度：中等

已知A、B是直线l同侧的两个定点，且到l的距离分别为3和2，点P是直线l上的一个动点，则的最小值是    ．

16. 难度：中等

已知直线ax+by+c=0被曲线M：所截得的弦AB的长为2，O为原点，那么•的值等于    ．

17. 难度：中等

在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，
（1）求C；
（2）若，求a，b，c．

18. 难度：中等

已知向量=（3，-4），求：
（1）与平行的单位向量；
（2）与垂直的单位向量；
（3）将绕原点逆时针方向旋转45°得到的向量的坐标．

19. 难度：中等

在△ABC中，已知内角A=，边BC=2，设内角B=x，周长为y
（1）求函数y=f（x）的解析式和定义域；
（2）求y的最大值．

20. 难度：中等

有一道解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下：在△ABC中，已知，    ，求角A．经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A=60°，试将条件在横线处补全．

21. 难度：中等

点O是梯形ABCD对角线的交点，|AD|=4，|BC|=6，|AB|=2．设与同向的单位向量为，与同向的单位向量为．
（1）用和表示和；
（2）若点P在梯形ABCD所在平面上运动，且，求的最大值和最小值．

22. 难度：中等

已知向量=（x，1），=（1，-sinx），函数f（x）=•．
（1）若x∈[0，π]，试求函数f（x）的值域；
（2）若θ为常数，且θ∈（0，π），设g（x）=-f（），x∈[0，π]，请讨论g（x）的单调性，并判断g（x）的符号．