2012年江苏省常州市教育学会高三1月学业水平监测数学试题（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知集合A={-1，0，2}，B={2^a}，若B⊆A，则实数a的值为    ．

2. 难度：中等

若（i为虚数单位），则复数z=    ．

3. 难度：中等

已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则b的值为    ．

4. 难度：中等

用分层抽样的方法从某高中学校学生中抽取一个容量为55的样本参加问卷调查，其中高一年级、高二年级分别抽取10人、25人．若该校高三年级共有学生400人，则该校高一和高二年级的学生总数为    人．

5. 难度：中等

用3种不同的颜色给图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则3个矩形中有且仅有两个矩形颜色相同的概率是    ．

6. 难度：中等

函数的最小正周期是    ．

7. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，M为线段AB的中点，若∠MOA=30°，则该椭圆的离心率的值为    ．

8. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的各均为正数，且，则数列{a_n}的通项公式为    ．

9. 难度：中等

设m∈R，已知函数f（x）=-x²-2mx²+（1-2m）x+3m-2，若曲线y=f（x）在x=0处的切线恒过定点P，则点P的坐标为    ．

10. 难度：中等

对于函数y=f（x）（x∈R），给出下列命题：
（1）在同一直角坐标系中，函数y=f（1-x）与y=f（x-1）的图象关于直线x=0对称；
（2）若f（1-x）=f（x-1），则函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称；
（3）若f（1+x）=f（x-1），则函数y=f（x）是周期函数；
（4）若f（1-x）=-f（x-1），则函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称．
其中所有正确命题的序号是    ．

11. 难度：中等

设函数y=f（x）在R内有定义，对于给定的正数k，定义函数，若函数f（x）=log₃|x|，则当时，函数f_k（x）的单调减区间为    ．

12. 难度：中等

已知△ABC中，AB边上的高与AB边的长相等，则的最大值为    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=2^x（x∈R），且f（x）=g（x）+h（x），其中g（x）为奇函数，h（x）为偶函数．若不等式2a•g（x）+h（2x）≥0对任意x∈[1，2]恒成立，则实数a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

已知a，b，c均为正实数，记，则M的最小值为    ．

15. 难度：中等

已知m、x∈R，向量．
（1）当m＞0时，若，求x的取值范围；
（2）若对任意实数x恒成立，求m的取值范围．

16. 难度：中等

如图，斜三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，侧面AA₁C₁C是菱形，，E、F分别是A₁C₁、AB的中点．求证：（1）EF∥平面BB₁C₁C；（2）平面CEF⊥平面ABC．

17. 难度：中等

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，满足，且a₁，a₂，a₇依次是等比数列{b_n}的前三项．（1）求数列{a_n}及{b_n}的通项公式；
（2）是否存在常数a＞0且a≠1，使得数列是常数列？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

18. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知圆x²+y²=1与x轴正半轴的交点为F，AB为该圆的一条弦，直线AB的方程为x=m．记以AB为直径的圆为⊙C，记以点F为右焦点、短半轴长为b（b＞0，b为常数）的椭圆为D．
（1）求⊙C和椭圆D的标准方程；
（2）当b=1时，求证：椭圆D上任意一点都不在⊙C的内部；
（3）已知点M是椭圆D的长轴上异于顶点的任意一点，过点M且与x轴不垂直的直线交椭圆D于P、Q两点（点P在x轴上方），点P关于x轴的对称点为N，设直线QN交x轴于点L，试判断是否为定值？并证明你的结论．

19. 难度：中等

如图是一幅招贴画的示意图，其中ABCD是边长为2a的正方形，周围是四个全等的弓形．已知O为正方形的中心，G为AD的中点，点P在直线OG上，弧AD是以P为圆心、PA为半径的圆的一部分，OG的延长线交弧AD于点H．设弧AD的长为l，．（1）求l关于θ的函数关系式；（2）定义比值为招贴画的优美系数，当优美系数最大时，招贴画最优美．证明：当角θ满足：时，招贴画最优美．

20. 难度：中等

设a为实数，函数f（x）=x|x²-a|．（1）当a=1时，求函数f（x）在区间[-1，1]上的最大值和最小值；（2）求函数f（x）的单调区间．

21. 难度：中等

如图，⊙O是△ABC的外接圆，延长BC边上的高AD交⊙O于点E，H为△ABC的垂心．求证：DH=DE．

22. 难度：中等

求矩阵的特征值及对应的特征向量．

23. 难度：中等

在极坐标系中，O为极点，求过圆C：的圆心C且与直线OC垂直的直线l的极坐标方程．

24. 难度：中等

已知x，y均为正实数，求证：≥．

25. 难度：中等

已知斜率为k（k≠0）的直线l过抛物线C：y²=4x的焦点F且交抛物线于A、B两点．设线段AB的中点为M．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）若-2＜k＜-1时，点M到直线l'：3x+4y-m=0（m为常数，）的距离总不小于，求m的取值范围．

26. 难度：中等

已知正项数列{a_n}中，．用数学归纳法证明：．