2011-2012学年江西省南昌市高三联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数，是z的共轭复数，则等于（ ）
A．4
B．2
C．1
D．

2. 难度：中等

下列说法中，正确的是（ ）
A．命题“若am²＜bm²，则a＜b”的逆命题是真命题
B．命题“∃x∈R，x²-x＞0”的否定是“∀x∈R，x²-x≤0”
C．命题“p∨q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题
D．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件

3. 难度：中等

抛物线y=-2x²的焦点坐标是（ ）
A．
B．（-1，0）
C．
D．

4. 难度：中等

函数y=asinx-bcosx（ab≠0）的一条对称轴的方程为，则以为方向向量的直线的倾斜角为 （ ）
A．45°
B．60°
C．120°
D．135°

5. 难度：中等

已知两不共线向量a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），则下列说法不正确的是（ ）
A．（a+b）⊥（a-b）
B．a与b的夹角等于α-β
C．|a+b|+|a-b|＞2
D．a与b在a+b方向上的投影相等

6. 难度：中等

已知函数，若数列{a_n}满足a_n=f（n）（n∈N^*），且{a_n}是递减数列，则实数a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

函数f（x）=xcosx的导函数f′（x）在区间[-π，π]上的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1，2，…，9的9个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（ ）

A．108种
B．60种
C．48种
D．36种

10. 难度：中等

如右图，有公共左顶点和公共左焦点F的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为a₁和a₂，半焦距分别为c₁和c₂．则下列结论不正确的是（ ）

A．a₁+c₁＞a₂+c₂
B．a₁-c₁=a₂-c₂
C．a₁c₂＜a₂c₁
D．a₁c₂＞a₂c₁

二、解答题

11. 难度：中等

按如下程序框图运行，则输出结果为    ．

12. 难度：中等

如图，圆O：x²+y²=π²内的正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M（图中阴影部分），随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是    ．

13. 难度：中等

某驾驶员喝了m升酒后，血液中的酒精含量f（x）（毫克/毫升）随时间x（小时）变化的规律近似满足表达式《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升．此驾驶员至少要过    小时后才能开车．（精确到1小时）

14. 难度：中等

把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{a_n}，若a_n=2011，则n=    ．

15. 难度：中等

选做题（考生注意：请在（1）（2）两题中，任选做一题作答，若多做，则按（1）题计分）
（1）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线被圆ρ=4截得的弦长为    ．
（2）（不等式选讲选做题）若不等式|x-2|+|x+3|＜a的解集为∅，则实数a的取值范围为    ．

16. 难度：中等

已知函数．   
（1）若f（α）=5，求tanα的值；
（2）设△ABC三内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，求f（x）在（0，B]上的值域．

17. 难度：中等

甲、乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或下满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为p（p＞），且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为．
（1）求p的值；
（2）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．

18. 难度：中等

如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=1．
（1）证明：EM⊥BF；
（2）求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=7，a_n+1=3a_n+2^n-1-8n．（n∈N^*）
（Ⅰ）李四同学欲求{a_n}的通项公式，他想，如能找到一个函数f（n）=A•2^n-1+B•n+C（A、B、C是常数），把递推关系变成a_n+1-f（n+1）=3[a_n-f（n）]后，就容易求出{a_n}的通项了．请问：他设想的f（n）存在吗？{a_n}的通项公式是什么？
（Ⅱ）记S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，若不等式S_n-2n²＞p×3ⁿ对任意n∈N^*都成立，求实数p的取值范围．

20. 难度：中等

已知双曲线x²-y²=1的左、右顶点分别为A₁、A₂，动直线l：y=kx+m与圆x²+y²=1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）．
（1）求k的取值范围，并求x₂-x₁的最小值；
（2）记直线P₁A₁的斜率为k₁，直线P₂A₂的斜率为k₂，那么k₁•k₂是定值吗？证明你的结论．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=e^xlnx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设x＞0，求证：f（x+1）＞e^2x-1；
（3）设n∈N^*，求证：ln（1×2+1）+ln（2×3+1）+…+ln[n（n+1）+1]＞2n-3．