2011-2012学年高三数学自主练习试卷（一）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

设集合，则A∪B=    ．

2. 难度：中等

设集合，则M∩N=    ．

3. 难度：中等

命题：“若a，b，c成等比数列，则b²=ac”及其逆命题、否命题、逆否命题中正确的个数是    ．

4. 难度：中等

tan67°+tan68°-tan67°tan68°=    ．

5. 难度：中等

已知扇形的周长为8cm，则该扇形的面积S的最大值为    cm²．

6. 难度：中等

使函数f（x）=x+2cosx在[0，]上取最大值的x为    ．

7. 难度：中等

在△ABC中．若b=5，，tanA=2，则sinA=    ；a=    ．

8. 难度：中等

若，则角θ的终边落在第    象限．

9. 难度：中等

已知函数f（x）=Atan（ωx+φ）（ω＞0，|ω|＜），y=f（x）的部分图象如图，则f（）=    ．

10. 难度：中等

如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A、B，灯塔B位于灯塔A的正南方向，海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75°方向，与A相距海里的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60°方向，与B相距5海里的C处，则两艘船之间的距离为    海里．

11. 难度：中等

已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为    ．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=2sin（x-），x∈R
（1）求f（）的值；
（2）设α，β∈[0，]，f（3α+）=，f（3β+2π）=，求cos（α+β）的值．

13. 难度：中等

已知O为坐标原点，，，集合，且，则=    ．

14. 难度：中等

设f（x）=asin2x+bcos2x，a，b∈R，ab≠0若f（x）≤|f（）|对一切x∈R恒成立，则
①f（）=0．
②|f（）|＜|f（）|．
③f（x）既不是奇函数也不是偶函数．
④f（x）的单调递增区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）．
⑤存在经过点（a，b）的直线于函数f（x）的图象不相交．
以上结论正确的是    写出正确结论的编号）．

15. 难度：中等

命题p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，其中a＜0；命题q：实数x满足x²-x-6≤0或x²+2x-8＞0；若￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．

16. 难度：中等

在边长为6cm的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，构成一个三棱锥．
（1）判别MN与平面AEF的位置关系，并给出证明；
（2）求多面体E-AFMN的体积．

17. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C的 对边分别为a、b、c，且．
（1）求的值；
（2）若，求tanA及tanC的值．

18. 难度：中等

已知 A、B两地相距2R，以AB为直径作一个半圆，在半圆上取一点C，连接AC、BC，在三角形ABC内种草坪（如图），M、N分别为弧AC、弧BC的中点，在三角形AMC、三角形BNC上种花，其余是空地．设花坛的面积为S₁，草坪的面积为S₂，取∠ABC=θ．
（1）用θ及R表示S₁和S₂；
（2）求的最小值．

19. 难度：中等

已知点P（4，4），圆C：（x-m）²+y²=5（m＜3）与椭圆E：有一个公共点A（3，1），F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，直线PF₁与圆C相切．
（1）求m的值与椭圆E的方程；
（2）设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围．

20. 难度：中等

已知圆C的圆心在抛物线x²=2py（p＞0）上运动，且圆C过A（0，p）点，若MN为圆C在x轴上截得的弦．
（1）求弦长MN；
（2）设AM=l₁，AN=l₂，求的取值范围．