2012年安徽师大附中高考数学四模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={1，2，3，4}，B={3，4，5}，全集U=A∪B，则集合C_U（A∩B）的元素个数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

2. 难度：中等

已知复数z=（a∈R）是纯虚数，则a的值等于（ ）
A．-
B．-
C．1
D．

3. 难度：中等

下列不等式正确的是（ ）
A．sin40°＜sin1030°
B．
C．sin89°＞tan46°
D．

4. 难度：中等

已知{a_n}是公比为q的等比数列，且a₁，a₃，a₂成等差数列，则q=（ ）
A．1或-
B．1
C．-
D．-2

5. 难度：中等

函数y=sin²x+sinxcosx的最小正周期T=（ ）
A．2π
B．π
C．
D．

6. 难度：中等

不等式的解集是（ ）
A．（2，+∞）
B．（-2，1）∪（2，+∞）
C．（-2，1）
D．（-∞，-2）∪（1，+∞）

7. 难度：中等

若双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为（ ）
A．5
B．
C．2
D．

8. 难度：中等

在四边形ABCD中，•=0，=，则四边形ABCD是（ ）
A．直角梯形
B．菱形
C．矩形
D．正方形

9. 难度：中等

将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角后，有下列四个结论：
（1）AC⊥BD                     （2）△ACD是等边三角形
（3）AB与平面BCD的夹角成60°   （4）AB与CD所成的角为60°
其中正确的命题有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

10. 难度：中等

过点Q（2，4）引直线与圆x²+y²=1交于R，S两点，那么弦RS的中点P的轨迹为（ ）
A．圆（x+1）²+（y+2）²=5
B．圆x²+y²+2x+4y=0的一段弧
C．圆x²+y²-2x-4y=0的一段弧
D．圆（x-1）²+（y-2）²=5

二、解答题

11. 难度：中等

设定义在区间[2^2-a-2，2^a-2]上的函数f（x）=3^x-3^-x是奇函数，则实数a的值是    ．

12. 难度：中等

图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A_1、A₂、…、A₁₀（如A₂表示身高（单位：cm）[150，155）内的学生人数）．图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm（含160cm，不含180cm））的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是   

13. 难度：中等

已知tanθ=2，则sin²θ+sinθcosθ-2cos²θ=    ．

14. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为    ．

15. 难度：中等

设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的值是最大值为12，则的最小值为    ．

16. 难度：中等

在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且（a²+b²）sin（A-B）=（a²-b²）sinC，试判断△ABC的形状．

17. 难度：中等

某中学共有学生2000人，各年级男，女生人数如下表：

	一年级	二年级	三年级
女生	373	x	y
男生	377	370	z

已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19．
（1）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在高三年级抽取多少名？
（2）已知y≥245，z≥245，求高三年级中女生比男生多的概率．

18. 难度：中等

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA₁，D、E、F分别为B₁A、C₁C、BC的中点．
（1）求异面直线B₁F与AC的夹角余弦值；
（2）求证：DE∥平面ABC；
（3）求证：B₁F⊥平面AEF．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=2x³-3ax²+1．
（1）若x=1为函数f（x）的一个极值点，试确定实数a的值，并求此时函数f（x）的极值；
（2）求函数f（x）的单调区间．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2a_n-n，（n∈N^*）
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若b_n=（2n+1）a_n+2n+1，数列{b_n}的前n项和为T_n，求满足不等式≥128的最小n值．

21. 难度：中等

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，短轴两个端点为A、B，且四边形F₁AF₂B是边长为2的正方形．
（1）求椭圆的方程；
（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．证明：为定值．
（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．