2011年广东省广州市仲元中学高三数学专题训练：直线、平面、简单几何（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

过空间一点与已知平面垂直的直线有（ ）
A．0条
B．1条
C．0条或1条
D．无数条

2. 难度：中等

平面α⊥平面β的一个充分条件是（ ）
A．存在一条直线l，l⊥α，l⊥β
B．存在一个平面γ，γ∥α，γ∥β
C．存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β
D．存在一条直线l，l⊥α，l∥β

3. 难度：中等

设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是（ ）
A．a⊥α，b∥β，α⊥β
B．a⊥α，b⊥β，α∥β
C．a⊂α，b⊥β，α∥β
D．a⊂α，b∥β，α⊥β

4. 难度：中等

已知直线a，如果直线b同时满足条件 ①a与b异面；②a与b成定角；③a与b的距离为定值．则这样的直线b（ ）
A．唯一确定
B．有2条
C．有4条
D．有无数条

5. 难度：中等

正方体A′B′C′D′-ABCD的棱长为a，EF在AB上滑动，且|EF|=b（b＜a），Q点在D′C′上滑动，则四面体A′-EFQ的体积为（ ）

A．与E、F位置有关
B．与Q位置有关
C．与E、F、Q位置都有关
D．与E、F、Q位置均无关，是定值

6. 难度：中等

设M是正四面体ABCD的高线AH上一点，连接MB、MC，若∠BMC=90°，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．1

7. 难度：中等

已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心O到平面ABC的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

将正方形ABCD沿对角线BD折成一个120°的二面角，点C到达点C₁，这时异面直线AD与BC₁所成的角的余弦值是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

在正四面体S-ABC中，E为SA的中点，F为△ABC的中心，则直线EF与平面ABC所成的角的大小为（ ）
A．arccos
B．45°
C．arctan
D．arctan

10. 难度：中等

如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，沿对角线BD将△ABD折起，使A点在平面BCD内的射影落在BC边上，若二面角C-AB-D的平面角大小为θ，则sinθ的值等于（ ）

A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位（ ）

A．南
B．北
C．西
D．下

12. 难度：中等

如图，在棱长为4的正方体ABCD-A′B′C′D′中，E、F分别是AD、A′D′的中点，长为2的线段MN的一个端点M在线段EF上运动，另一个端点N在底面A′B′C′D′上运动，则线段MN的中点P的轨迹（曲面）与二面角A-A′D′-B′所围成的几何体的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、解答题

13. 难度：中等

下列命题：①如果一个平面内有一条直线与另一个平面内的一条直线平行，那么这两个平面平行；②如果一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行；③平行于同一平面内的两个不同平面相互平行；④垂直于同一直线的两个不同平面相互平行．其中的真命题是    （把正确的命题序号全部填在横线上）．

14. 难度：中等

设球O的半径为R，A、B、C为球面上三点，A与B、A与C的球面距离为，B与C的球面距离为，则球O在二面角B-OA-C内的这部分球面的面积是    ．

15. 难度：中等

如图，∠BAD=90°的等腰直角三角形ABD与正三角形CBD所在平面互相垂直，E是BC的中点，则AE与平面BCD所成角的大小为    ．

16. 难度：中等

将边长为1的菱形ABCD沿对角线AC折成大小等于θ的二面角B-AC-D．若，M，N分别为AC，BD的中点，则下列说法中正确的有   
①AC⊥MN   ②DM与平面ABC所成角为θ   ③线段MN的最大值是，最小值是    ④当时θ=时，BC与AD所成角等于．

17. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为A₁B₁、A₁D₁的中点，G、H分别为BC、B₁D₁的中点．
（1）指出直线GH与平面EFDB的位置关系，并加以证明；
（2）求异面直线GH与DF所成角的大小．

18. 难度：中等

如图，在△ABC中，AC=BC=1，∠ACB=90°，点D在斜边AB上，∠BCD=α（0＜α＜）．把△BCD沿CD折起到△B′CD的位置，使平面B′CD⊥平面ACD．
（1）求点B′到平面ACD的距离（用α表示）；
（2）当AD⊥B′C时，求三棱锥B′-ACD的体积．

19. 难度：中等

如图，长方体AC₁中，AB=2，BC=AA₁=1，E、F、G分别为棱DD₁、D₁C₁、BC的中点，
（1）试在棱A₁D₁上找一点H，使EH∥平面FGB₁；
（2）求四面体EFGB₁的体积．

20. 难度：中等

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB₁⊥BC₁，AB=CC₁=a，BC=b．
（1）设E、F分别为AB₁、BC₁的中点，求证：EF∥平面ABC；
（2）求证：A₁C₁⊥AB；
（3）求点B₁到平面ABC₁的距离．

21. 难度：中等

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面所成的角为60°，AB=BC，A₁A=A₁C=2，AB⊥BC，侧面AA₁C₁C⊥底面ABC．
（1）证明：A₁B⊥A₁C₁；
（2）求二面角A-CC₁-B的大小；
（3）求经过A₁、A、B、C四点的球的表面积．

22. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=2，E为PD中点．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角E-AC-D的大小；
（Ⅲ）在线段BC上是否存在点F，使得点E到平面PAF的距离为？若存在，确定点F的位置；若不存在，请说明理由．