2012年华约自主招生数学全真模拟试卷Advanced Assessment for Admission（AAA）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），且满足=；即，则△ABC一定为（ ）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形

2. 难度：中等

圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）．若AM⊥MP，则P点形成的轨迹的长度为（ ）
A．
B．
C．3
D．

3. 难度：中等

设有一个体积为54的正四面体，若以它的四个面的中心为顶点做一个四面体，则所作四面体的体积为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

4. 难度：中等

计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数n时按下这个按键，会等可能的将其替换为0～n-1中的任意一个数．如果初始时显示2011，反复按这个按键使得最终显示0，那么这个过程中，9、99、999都出现的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知α，β∈R，直线与的交点在直线y=-x上，则sinα+cosα+sinβ+cosβ=（ ）
A．0
B．1
C．-1
D．2

6. 难度：中等

设，则=（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

7. 难度：中等

已知，则sin⁴θ+cos⁴θ=．（ ）
A．
B．
C．1
D．-

8. 难度：中等

顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，AB=1，AA′=，则A、C两点间的球面距离为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

在平面直角坐标系内，将适合x＜y，|x|＜3，|y|＜3，且使关于t的方程没有实数根的点（x，y）所成的集合记为N，则由点集N所成区域的面积为．（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，过椭圆的右焦点作一条直线l交椭圆于点P、Q，则△F₁PQ内切圆面积的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

11. 难度：中等

设f（x）=x²+bx+c（b，c∈R）．若|x|≥2时，f（x）≥0，且f（x）在区间（2，3]上的最大值为1，求b²+c²的最大值和最小值．

12. 难度：中等

已知椭圆C：（a＞b≥0），其离心率为，两准线之间的距离为．
（1）求a，b之值；
（2）设点A坐标为（6，0），B为椭圆C上的动点，以A为直角顶点，作等腰直角△ABP（字母A，B，P按顺时针方向排列），求P点的轨迹方程．

13. 难度：中等

已知数列{a_n}中的相邻两项a_2k-1，a_2k是关于x的方程x²-（3k+2^k）x+3k•2^k=0的两个根，且a_2k-1≤a_2k（k=1，2，3，…）．
（I）求a₁，a₃，a₅，a₇；
（II）求数列{a_n}的前2n项和S_2n；
（Ⅲ）记，，求证：．

14. 难度：中等

已知椭圆 过定点A（1，0），且焦点在x轴上，椭圆与曲线|y|=x的交点为B、C．现有以A为焦点，过B，C且开口向左的抛物线，其顶点坐标为M（m，0），当椭圆的离心率满足 时，求实数m的取值范围．

15. 难度：中等

已知某种植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所进行该种子的发芽实验，每次实验种一料种子，每次实验结果相互独立．假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的．若该研究所共进行四次实验，设ξ表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值；
（1）求随机变量ξ的数学期望
（2）记“关于x的不等式 ξx²-ξx+1＞0的解集是实数集R”为事件A，求事件A发生的概率P（A）．