2011-2012学年湖南省永州市蓝山二中高三第四次联考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U=R，集合A={x|x²-1≤0}，则∁_UA=（ ）
A．{x|-1＜x＜1}
B．{x|x≤-1或x≥1}
C．{x|x＜-1或x＞1}
D．{x|-1≤x≤1}

2. 难度：中等

复数，在复平面内，z对应的点位于 （ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

3. 难度：中等

已知向量、不共线，=k-，=2+，若∥，则实数k的值为（ ）
A．
B．k=-2
C．k=2
D．

4. 难度：中等

一个递增的等差数列{a_n}，前三项的和a₁+a₂+a₃=12，且a₂，a₃，a₄+1成等比数列，则数列{a_n}的公差为（ ）
A．±2
B．3
C．2
D．1

5. 难度：中等

下列命题为真命题的是 （ ）
A．a＞b是的充分条件
B．a＞b是的必要条件
C．a＞b是a²＞b²的充要条件
D．a＞b＞0是a²＞b²的充分条件

6. 难度：中等

图是函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象，则下列可以作为其解析式的是 （ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知，则z=2x+y的最大值为 （ ）
A．-7
B．
C．-1
D．-8

8. 难度：中等

把正整数按“S”型排成了如图所示的三角形数表，第n行有n个数，设第n行左侧第一个数为a_n，如a₅=15，则该数列{a_n}的前n项和T_n（n为偶数）为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、解答题

9. 难度：中等

三进制数121_（3）化为十进制数为    ．

10. 难度：中等

已知向量，，若单位向量满足，则=    ．

11. 难度：中等

已知x＞1，函数f（x）=x+的最小值是    ．

12. 难度：中等

图为定义在R上的函数f（x）的导函数f'（x）的大致图象，则函数f（x）的单调递增区间为    ，f（x）的极大值点为x=    ．

13. 难度：中等

=    ．

14. 难度：中等

若函数f（x）=cos2x+acosx（x∈R）的最小值为-4，则a 的值为    ．

15. 难度：中等

已知关于x的一元二次不等式ax²+bx+c≥0在实数集上恒成立，且a＜b，则的最小值为    ．

16. 难度：中等

设集合A={x|x²-（a+1）x+a＜0}，．
（1）当a=3时，求A∩B；
（2）若A⊆∁_RB，求a的取值范围．

17. 难度：中等

设函数．
（1）求f（x）的最大值，并求取得最大值时x的取值集合；
（2）记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若f（B）=0，b=1，c=，求a的值．

18. 难度：中等

已知{a_n}为等比数列，a₁=1，前n项和为S_n，且，数列{b_n}的前n项和为T_n，且点（n，T_n）均在抛物线上．
（1）求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_n•b_n，求{c_n}的前n项和S′_n．

19. 难度：中等

某市近郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．
（1）分别用x表示y和S的函数关系式，并给出定义域；
（2）怎样设计能使S取得最大值，并求出最大值．

20. 难度：中等

已知函数（a＜-1）．
（1）若函数f（x）在x=2处的切线与x轴平行，求a的值，并求出函数的极值；
（2）已知函数g（x）=4lnx-2x+ln（b²-2b），在（1）的条件下，若f（x）＞g（x）恒成立，求b的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数（a＞0）．
（1）若函数f（x）有三个零点分别为x₁，x₂，x₃，且x₁+x₂+x₃=-3，x₁x₂=-9，求函数f（x）的单调区间；
（2）若，3a＞2c＞2b，证明：函数f（x）在区间（0，2）内一定有极值点；
（3）在（2）的条件下，若函数f（x）的两个极值点之间的距离不小于，求的取值范围．