2009-2010学年上海市十三校高三（下）第二次联考数学试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

函数f（x）=x³+1的反函数f^-1（x）=    ．

2. 难度：中等

设z=（1+m）+i（3-m）（m∈R），若z是虚数，则m的取值范围为    ．

3. 难度：中等

设函数f（x）=，若f（x）＞1，则x的取值范围是    ．

4. 难度：中等

已知直线l的极坐标方程是，若直线l与双曲线的一条渐近线平行，则实数a=    ．

5. 难度：中等

在10件产品中有2件次品，任意抽取3件，则抽到次品个数的数学期望的值是    ．

6. 难度：中等

已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15πcm²，则此圆锥的体积为    cm³．

7. 难度：中等

若数列{a_n}的通项，S_n为数列{a_n}的前n项和，则S₆=    ．

8. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若，则=    ．

9. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若，则角B的取值范围为    ．

10. 难度：中等

若数列{a_n}满足（n∈N^*，为常数），则称数列{a_n}为“调和数列”已知数列{a}为“调和数列”，且x₁+x₂+…+x₂₀=₂₀₀，则x₃x₁₈的最大值是    ．

11. 难度：中等

函数f（x）=，（x∈R），又f（α）=-2，f（β）=0且|α-β|的最小值等于，则正数ω的值为    ．

12. 难度：中等

已知A={x|x²-x≤0}，B={x|2^1-x+a≤0}，若A⊆B，则实数a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

对于函数y=f（x）的图象上任意两点A（a，f（a）），B（b，f（b）），设点C分的比为λ（λ＞0）．若函数为f（x）=x²（x＞0），则直线AB必在曲线AB的上方，且由图象特征可得不等式．若函数为f（x）=log₂₀₁₀x，请分析该函数的图象特征，上述不等式可以得到不等式    ．

14. 难度：中等

设{a_n}是公比为q的等比数列，其前项积为，并满足条件，给出下列结论：（1）0＜q＜1；（2）T₁₉₈＜1；（3）a₉₉a₁₀₁＜1；（4）使T_n＜1成立的最小自然数n等于199，其中正确的编号为    ．

二、选择题

15. 难度：中等

“a＞1”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

16. 难度：中等

若果执行右面的程序框图，那么输出的i=（ ）

A．12
B．13
C．14
D．15

17. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，AH为BC边上的高，在以下结论中：；；；④，其中正确结论的序号是（ ）
A．①③
B．①②④
C．②③④
D．①②③④

18. 难度：中等

已知f（x）在x∈[a，b]上的最大值为M，最小值为m，给出下列五个命题：
①若对任何x∈[a，b]都有p≤f（x），则p的取值范围是（-∞，m]；
②若对任何x∈[a，b]都有p≤f（x），则p的取值范围是（-∞，M]；
③若关于x的方程p=f（x）在区间[a，b]上有解，则p的取值范围是[m，M]；
④若关于x的不等式p≤f（x）在区间[a，b]上有解，则p的取值范围是（-∞，m]；
⑤若关于x的不等式p≤f（x）在区间[a，b]上有解，则p的取值范围是（-∞，M]；
其中正确命题的个数为（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个

三、解答题

19. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，PF⊥平面ABCD，垂足F在AD上，且AF=FD，FB⊥FC，FB=FC=2，E是BC的中点，四面体P-BCF的体积为．
（1）求异面直线EF和PC所成的角；
（2）求点D到平面PBF的距离．

20. 难度：中等

如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y＞x＞0．
（Ⅰ）将十字形的面积表示为θ的函数；
（Ⅱ）θ为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？

21. 难度：中等

已知复数z₁=log₂（2^x+1）+ki，z₂=1-xi（其中x，k∈R），记z₁z₂的实部为f（x），若函数f（x）是关于x的偶函数，
（1）求k的值；
（2）求函数y=f（log₂x）在x∈（0，a]，a＞0，a∈R上的最小值；
（3）求证：对任意实数m，函数y=f（x）图象与直线的图象最多只有一个交点．

22. 难度：中等

设向量=（x+1，y），=（y，x-1），（x，y∈R）满足||+||=2，已知定点A（1，0），动点P（x，y）
（1）求动点P（x，y）的轨迹C的方程；
（2）过原点O作直线l交轨迹C于两点M，N，若，试求△MAN的面积．
（3）过原点O作直线l与直线x=2交于D点，过点A作OD的垂线与以OD为直径的圆交于点G，H（不妨设点G在直线OD上方），试判断线段OG的长度是否为定值？并说明理由．

23. 难度：中等

设数列{a_n}的通项公式为a_n=pn+q（n∈N^*，P＞0）．数列{b_n}定义如下：对于正整数m，b_m是使得不等式a_n≥m成立的所有n中的最小值．
（Ⅰ）若，求b₃；
（Ⅱ）若p=2，q=-1，求数列{b_m}的前2m项和公式；
（Ⅲ）是否存在p和q，使得b_m=3m+2（m∈N^*）？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由．