2009-2010学年上海市十三校高三（下）第二次联考数学试卷（文科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

函数f（x）=x³+1的反函数f^-1（x）=    ．

2. 难度：中等

设z=（1+m）+i（3-m）（m∈R），若z是虚数，则m的取值范围为    ．

3. 难度：中等

设函数f（x）=，若f（x）＞1，则x的取值范围是    ．

4. 难度：中等

已知直线3x+2y-5=0的方向向量与直线ax-5y+2=0的法向量垂直，则实数a=    ．

5. 难度：中等

已知A={x|x²-x≤0}，B={x|x+a≤0}，若A⊆B，则实数a的取值范围是    ．

6. 难度：中等

若等差数列{a_n}中，，则公差d=    ．

7. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若，则角B的取值范围为    ．

8. 难度：中等

如果执行如图的程序框图，那么输出的i=    ．

9. 难度：中等

已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15πcm²，则此圆锥的体积为    cm³．

10. 难度：中等

已知（ -）ⁿ的展开式中二项式系数之和为512，且展开式中x³的系数为9，常数a的值为    ．

11. 难度：中等

函数f（x）=，（x∈R），又f（α）=-2，f（β）=0且|α-β|的最小值等于，则正数ω的值为    ．

12. 难度：中等

若方程lg|x|=-|x|+5在区间（k，k+1）（k∈Z）上有解，则所有满足条件的k的值的和为    ．

13. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AH为BC边上的高，在以下结论中：
①；
②；
③；
④．
其中正确结论的序号是    ．

14. 难度：中等

设A={（x，y）|y≤-|x-3|}，B={（x，y）|y≥2|x|+b}，b为常数，A∩B≠ϕ．
（1）b的取值范围是    ；
（2）设P（x，y）∈A∩B，点T的坐标为，若在方向上投影的最小值为，则b的值为    ．

二、选择题

15. 难度：中等

“a＞1”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

16. 难度：中等

一个正三棱柱和它的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为
（ ）

A．16
B．18
C．8+24
D．24+

17. 难度：中等

全国十运会期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（ ）
A．C₁₄¹²C₁₂⁴C₈⁴
B．C₁₄¹²A₁₂⁴A₈⁴
C．
D．C₁₄¹²C₁₂⁴C₈⁴A₃³

18. 难度：中等

以下有四个命题：
①一个等差数列{a_n}中，若存在a_k+1＞a_k＞O（k∈N），则对于任意自然数n＞k，都有a_n＞0；
②一个等比数列{a_n}中，若存在a_k＜0，a_k+1＜O（k∈N），则对于任意n∈N，都有a_n＜0；
③一个等差数列{a_n}中，若存在a_k＜0，a_k+1＜0（k∈N），则对于任意n∈N，都有a_n＜O；
④一个等比数列{a_n}中，若存在自然数k，使a_k•a_k+1＜0，则对于任意n∈N，都有a_n．a_n+1＜0；
其中正确命题的个数是（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

三、解答题

19. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，PF⊥平面ABCD，垂足F在AD上，且AF=FD，FB⊥FC，FB=FC=2，E是BC的中点，四面体P-BCF的体积为．
（1）求异面直线EF和PC所成的角；
（2）求点D到平面PBF的距离．

20. 难度：中等

如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y＞x＞0．
（Ⅰ）将十字形的面积表示为θ的函数；
（Ⅱ）θ为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？

21. 难度：中等

已知复数：z₁=log₂（2^x+1）+ki，z₂=1-xi（其中x，k∈R），记z₁z₂的实部为f（x），若函数f（x）是关于x的偶函数．
（1）求k的值；
（2）求函数y=f（log₂x）在x∈（0，a]，a＞0，a∈R上的最小值．

22. 难度：中等

设向量，满足，已知两定点A（1，0），B（-1，0），动点P（x，y），
（1）求动点P（x，y）的轨迹C的方程；
（2）已知直线m：y=x+t交轨迹C于两点M，N，（A，B在直线MN两侧），求四边形MANB的面积的最大值．
（3）过原点O作直线l与直线x=2交于D点，过点A作OD的垂线与以OD为直径的圆交于点G，H（不妨设点G在直线OD上方），求证：线段OG的长为定值．

23. 难度：中等

设数列{a_n}的通项公式为a_n=pn+q（n∈N^*，P＞0）．数列{b_n}定义如下：对于正整数m，b_m是使得不等式a_n≥m成立的所有n中的最小值．
（Ⅰ）若，求b₃；
（Ⅱ）若p=2，q=-1，求数列{b_m}的前2m项和公式；
（Ⅲ）是否存在p和q，使得b_m=3m+2（m∈N^*）？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由．