2012年广东省肇庆市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设z=1-i（i是虚数单位），则=（ ）
A．2-2i
B．2+2i
C．3-i
D．3+i

2. 难度：中等

若集合M={x|-2＜x＜3}，N={y|y=x²+1，x∈R}，则集合M∩N=（ ）
A．（-2，+∞）
B．（-2，3）
C．[1，3）
D．R

3. 难度：中等

已知平行四边形ABCD中，=（3，7），=（-2，3），对角线AC，BD交于点O，则的坐标为（ ）
A．（-，5）
B．（-，-5）
C．（，-5）
D．（，5）

4. 难度：中等

给出如图三幅统计图及四个命题：
①从折线统计图能看出世界人口的变化情况；
②2050年非洲人口大约将达到15亿；
③2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多；
④从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢．
其中命题正确的是（ ）

A．①②
B．①③
C．①④
D．②④

5. 难度：中等

“α是锐角”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．
B．16+32π
C．
D．32+8π

7. 难度：中等

已知f（x）=2^x-1，g（x）=1-x²，规定：当|f（x）|≥g（x）时，h（x）=|f（x）|；当|f（x）|＜g（x）时，h（x）=-g（x），则h（x）（ ）
A．有最小值-1，最大值1
B．有最大值1，无最小值
C．有最小值-1，无最大值
D．有最大值-1，无最小值

8. 难度：中等

若对于定义在R上的函数f（x），其函数图象是连续的，且存在常数λ（λ∈R），使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意的实数x成立，则称f（x）是“λ-同伴函数”．下列关于“λ-同伴函数”的叙述中正确的是（ ）
A．“同伴函数”至少有一个零点
B．f（x）=x²是一个“λ-同伴函数”
C．f（x）=log₂x是一个“λ-同伴函数”
D．f（x）=0是唯一一个常值“λ-同伴函数”

二、解答题

9. 难度：中等

不等式|x+3|-|x-3|＞3的解集是    ．

10. 难度：中等

在数列{a_n}，a₁=1，a_n+1=a_n+n，要计算此数列前30项的和，现已给出了该问题算法的程序框图（如图所示），请在图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处填上合适的语句，使之能完成该题算法功能．（1）    ；
（2）    ．

11. 难度：中等

某车间在三天内，每天生产10件某产品，其中第一天，第二天分别生产出了1件、n件次品，而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．则第一天通过检查的概率是    ；若（1+2x）⁵的第三项的二项式系数为5n，则第二天通过检查的概率    ．

12. 难度：中等

曲线y=x³+3x²+6x-1的切线中，斜率最小的切线方程为    ．

13. 难度：中等

若点P在直线l₁：x+my+3=0上，过点P的直线l₂与圆C：（x-5）²+y²=16只有一个公共点M，且|PM|的最小值为4，则m=    ．

14. 难度：中等

在极坐标系中，曲线ρ=2与cosθ+sinθ=0（0≤θ≤π）的交点的极坐标为    ．

15. 难度：中等

（选做题）如图，AB的延长线上任取一点C，过C作圆的切线CD，切点为D，∠ACD的平分线交AD于E，则∠CED=    ．

16. 难度：中等

如图，某测量人员，为了测量西江北岸不能到达的两点A，B之间的距离，她在西江南岸找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C；并测量得到数据：∠ACD=90°，∠ADC=60°，∠ACB=15°，∠BCE=105°，∠CEB=45°，DC=CE=1（百米）．
（1）求△CDE的面积；
（2）求A，B之间的距离．

17. 难度：中等

“肇实，正名芡实，因肇庆所产之芡实颗粒大、药力强，故名．”某科研所为进一步改良肇实，为此对肇实的两个品种（分别称为品种A和品种B）进行试验．选取两大片水塘，每大片水塘分成n小片水塘，在总共2n小片水塘中，随机选n小片水塘种植品种A，另外n小片水塘种植品种B．
（1）假设n=4，在第一大片水塘中，种植品种A的小片水塘的数目记为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
（2）试验时每大片水塘分成8小片，即n=8，试验结束后得到品种A和品种B在每个小片水塘上的每亩产量（单位：kg/亩）如下表：

号码	1	2	3	4	5	6	7	8
品种A	101	97	92	103	91	100	110	106
品种B	115	107	112	108	111	120	110	113

分别求品种A和品种B的每亩产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？

18. 难度：中等

如图，AB是圆柱ABFG的母线，C是点A关于点B对称的点，O是圆柱上底面的圆心，BF过O点，DE是过O点的动直径，且AB=2，BF=2AB．
（1）求证：BE⊥平面ACD；
（2）当三棱锥D-BCE的体积最大时，求二面角C-DE-A的平面角的余弦值．

19. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和记为S_n，a₁=t，点（S_n，a_n+1）在直线y=2x+1上，n∈N^*．
（1）若数列{a_n}是等比数列，求实数t的值；
（2）设b_n=na_n，在（1）的条件下，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）设各项均不为0的数列{c_n}中，所有满足c_i•c_i+1＜0的整数i的个数称为这个数列{c_n}的“积异号数”，令（n∈N^*），在（2）的条件下，求数列{c_n}的“积异号数”．

20. 难度：中等

已知点P是圆F₁：上任意一点，点F₂与点F₁关于原点对称．线段PF₂的中垂线与PF₁交于M点．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）设轨迹C与x轴的两个左右交点分别为A，B，点K是轨迹C上异于A，B的任意一点，KH⊥x轴，H为垂足，延长HK到点Q使得HK=KQ，连接AQ延长交过B且垂直于x轴的直线l于点D，N为DB的中点．试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系．

21. 难度：中等

设函数f（x）=x³+ax²+bx（x＞0）的图象与直线y=4相切于M（1，4）．
（1）求y=f（x）在区间（0，4]上的最大值与最小值；
（2）是否存在两个不等正数s，t（s＜t），当s≤x≤t时，函数f（x）=x³+ax²+bx的值域是[s，t]，若存在，求出所有这样的正数s，t；若不存在，请说明理由．