2012年湖北省武汉市高三四月调考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如图，在正方形ABCD中，点E为CD的中点，点F为BC上靠近点B的一个三等分点，则=（ ）

A．
B．
C．-
D．-

2. 难度：中等

“复数（a∈R，i为虚数单位）在复平面内对应的点位于第二象限”是“a＜-1”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：
907    966    191    925    271    932    812    458    569    683
431    257    393    027    556    488    730    113    537    989
据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ）
A．0.35
B．0.25
C．0.20
D．0.15

4. 难度：中等

一个体积为12的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为（ ）
A．6
B．8
C．8
D．12

5. 难度：中等

已知（3-）ⁿ的展开式中各项系数之和为256，则展开式中第7项的系数是（ ）
A．-24
B．24
C．-252
D．252

6. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输出的结果是9，则判断框内m的取值范围是（ ）

A．（42，56]
B．（56，72]
C．（72，90]
D．（42，90）

7. 难度：中等

如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y=（x＞0）图象下方的区域（阴影部分），从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知直线l：Ax+By+C=0（A，B不全为0），两点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），若（Ax₁+By₁+C）（Ax₂+By₂+C）＞0，且|Ax₁+By₁+C|＞|Ax₂+By₂+C|，则（ ）
A．直线l与直线P₁P₂不相交
B．直线l与线段P₂P₁的延长线相交
C．直线l与线段P₁P₂的延长线相交
D．直线l与线段P₁P₂相交

9. 难度：中等

抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，A、B在抛物线上，且，弦AB的中点M在其准线上的射影为N，则的最大值为（ ）
A．
B．
C．1
D．

10. 难度：中等

已知函数f（x）=，则下列关于函数y=f（f（x））+1的零点个数的判断正确的是（ ）
A．当a＞0时，有4个零点；当a＜0时，有1个零点
B．当a＞0时，有3个零点；当a＜0时，有2个零点
C．无论a为何值，均有2个零点
D．无论a为何值，均有4个零点

二、解答题

11. 难度：中等

某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如下对应数据（单位：百万元）．

x	2	4	5	6	8
y	30	40	60	t	70

根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=6.5x+17.5，则表中t的值为    ．

12. 难度：中等

已知α∈[，]，点A在角α的终边上，且|OA|=4cosα，则点A的纵坐标y的取值范围是    ．

13. 难度：中等

已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S-ABC的体积为    ．

14. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知三点A（a，b），B（b，c），C（c，a），且直线AB的倾斜角与AC的倾斜角互补，则直线AB的斜率为    ．（结果中不含字母a，b，c）

15. 难度：中等

如图，P为圆O外一点，由P引圆O的切线PA与圆O切于A点，引圆O的割线PB与圆O交于C点．已知AB⊥AC，PA=2，PC=1，则圆O的面积为    ．

16. 难度：中等

（选做题）在极坐标系下，已知直线l的方程为ρcos（θ-）=，则点M（1，）到直线l的距离为    ．

17. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知B=60°．
（Ⅰ）若cos（B+C）=-，求cosC的值；
（Ⅱ）若a=5，=5，求△ABC的面积．

18. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，满足3a₅=5a₈，S_n是数列{a_n}的前n项和．
（Ⅰ）若a₁＞0，当S_n取得最大值时，求n的值；
（Ⅱ）若a₁=-46，记b_n=，求b_n的最小值．

19. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，∠ADB=90°，AB=2AD．
（Ⅰ）证明：PA⊥BD；
（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值．

20. 难度：中等

为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500名志愿者中随机抽样100名志原者的年龄情况如下表所示．
（Ⅰ）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图）再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30，35）岁的人数；

分组（单位：岁）	频数	频率
[20，25]	5	0.05
[25，30]	①	0.20
[30，35]	35	②
[35，40]	30	0.30
[40，45]	10	0.10
合计	100	1.00

（Ⅱ）在抽出的100名志原者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活动，从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．

21. 难度：中等

如图，已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F₁（-c，0）、F₂（c，0），Q是椭圆外的一个动点，满足|F₁Q|=2a．点P是线段F₁Q与该椭圆的交点，点M在线段F₂Q上，且满足•=0，||≠0．
（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设不过原点O的直线l与轨迹C交于A，B两点，若直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，求△OAB面积的取值范围；
（Ⅲ）由（Ⅱ）求解的结果，试对椭圆Γ写出类似的命题．（只需写出类似的命题，不必说明理由）

22. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（1+x）-ax在x=-处的切线的斜率为1．
（Ⅰ）求a的值及f（x）的最大值；
（Ⅱ）证明：1+++…+＞ln（n+1）（n∈N^*）；
（Ⅲ）设g（x）=b（e^x-x），若f（x）≤g（x）恒成立，求实数b的取值范围．