2012年浙江省高考数学冲刺试卷10（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

有红、蓝、黄三种颜色的球各7个，每种颜色的7个球分别标有数字1、2、3、4、5、6、7，从中任取3个标号不同的球，这3种颜色互不相同且所标数字互不相邻的概率为    ．

2. 难度：中等

给定实数集合P、Q满足P={x|sin²[x]+sin²{x}=1}（其中[x]表示不超过x的最大整数，{x}=x-[x]），，设|P|，|Q|分别为集合P、Q的元素个数，则|P|，|Q|的大小关系为    ．

3. 难度：中等

已知函数，．
（Ⅰ）求f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）若不等式|f（x）-m|＜2在上恒成立，求实数m的取值范围．

4. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：a₁=2且（n∈N^*）
（1）求证：数列为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：（n∈N^*）．

5. 难度：中等

如图，在平面内直线EF与线段AB相交于C点，∠BCF=30°，且AC=CB=4，将此平面沿直线EF折成60°的二面角α-EF-β，BP⊥平面α，
点P为垂足．
（Ⅰ） 求△ACP的面积；
（Ⅱ） 求异面直线AB与EF所成角的正切值．

6. 难度：中等

如图，P是抛物线C：y=x²上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q．
（Ⅰ）若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；
（Ⅱ）若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求的取值范围．

7. 难度：中等

已知函数f（x）=2aln（1+x）-x（a＞0）．
（I）求f（x）的单调区间和极值；
（II）求证：（n∈N^*）．

二、选择题

8. 难度：中等

已知，则f（2）+f（-2）的值为（ ）
A．6
B．5
C．4
D．2

9. 难度：中等

“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

10. 难度：中等

下列命题中错误的是（ ）
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

11. 难度：中等

阅读程序框图，若使输出的结果不大于37，则输入的整数i的最大值为（ ）

A．4
B．5
C．6
D．7

12. 难度：中等

已知双曲线的焦点为F₁、F₂，点M在双曲线上且MF₁⊥x轴，则F₁到直线F₂M的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．

13. 难度：中等

设a是甲抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x²+ax+2=0有两个不相等的实数根的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

14. 难度：中等

已知圆C：x²+y²+2mx+4y+2m²-3m=0，若过点（1，-2）可作圆的切线有两条，则实数m的取值范围是（ ）
A．
B．（-1，4）
C．
D．

15. 难度：中等

某电台现录制好10首曲目，其中美声唱法2首，民族唱法4首，通俗唱法4首．拟分两期播出，每期播放其中5首，要求三种唱法每期都有，通俗唱法曲目不得相邻，且第一期的最后一首曲目必须是美声唱法．则不同的编排方法种数为（ ）
A．40320
B．80640
C．35712
D．71424

16. 难度：中等

设函数f（x）=4sin（2x+1）-x，则在下列区间中函数f（x）不存在零点的是（ ）
A．[-4，-2]
B．[-2，0]
C．[0，2]
D．[2，4]

17. 难度：中等

P，Q 是平面α 内两个定点，点M 为平面α 内的动点，且 （λ＞0，且λ≠1），点M 的轨迹所围成的平面区域的面积为S，设S=f（λ） （λ＞0，且λ≠1），则以下判断正确的是（ ）
A．f（λ）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上也是增函数
B．f（λ）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上也是减函数
C．f（λ）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数
D．f（λ）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数

三、解答题

18. 难度：中等

已知复数，其中i是虚数单位，则|z|=    ．

19. 难度：中等

在的展开式中x³的系数是    ．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=f′（）cosx+sinx，则f（）的值为    ．

21. 难度：中等

已知一个球的球心O到过球面上A、B、C三点的截面的距离等于此球半径的一半，若AB=BC=CA=3，则球的体积为    ．

22. 难度：中等

已知O是坐标原点，A（2，1），P（x，y）满足，则在方向上的投影的最大值等于    ．