2011-2012学年湖北省武汉外国语学校、钟祥一中高三（下）4月联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

“x²-5x+4＜0”是“|x-2|＜1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

如图，已知幂函数y=x^a的图象过点P（2，4），则图中阴影部分的面积等于（ ）

A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则=（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

设函数f（x）=g（x）+x²，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为（ ）
A．4
B．-
C．2
D．-

5. 难度：中等

已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG是边长为2的等边三角形，则f（1）的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（ ）
A．24种
B．48种
C．96种
D．144种

7. 难度：中等

定义在R上的偶函数f（x-2），当x＞-2时，f（x）=e^x+1-2（e为自然对数的底数），若存在k∈Z，使方程f（x）=0的实数根x∈（k-1，k），则k的取值集合是（ ）
A．{0}
B．{-3}
C．{-4，0}
D．{-3，0}

8. 难度：中等

A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6，则该球的体积为（ ）
A．
B．48π
C．
D．

9. 难度：中等

设P（x，y）是曲线C：+=1上的点，F₁（-4，0），F₂（4，0），则|PF₁|+|PF₂|（ ）
A．小于10
B．大于10
C．不大于10
D．不小于10

10. 难度：中等

在△ABC中，E，F分别是AC，AB的中点，且3AB=2AC，若恒成立，则t的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．

二、解答题

11. 难度：中等

某程序框图如图所示，现将输出（x，y）值依次记为：（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n），…；若程序运行中输出的一个数组是（x，-10），则数组中的x=    ．

12. 难度：中等

设抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，其准线与x轴交于点C，过点F作它的弦AB，若∠CBF=90°，则|AF|-|BF|=    ．

13. 难度：中等

某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：

（1）频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为   
（2）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90，100]之间的概率为    ．

14. 难度：中等

在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”．类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“＞”．定义如下：对于任意两个复数z₁=a₁+b₁i，z₂=a₂+b₂i（a₁，b₁，a₂，b₂∈R，i为虚数单位），“z₁＞z₂”当且仅当“a₁＞a₂”或“a₁=a₂且b₁＞b₂”．下面命题为假命题的是（填入满足题意的所有序号）   
①1＞i＞0
②若z₁＞z₂，z₂＞z₃，则z₁＞z₃
③若z₁＞z₂，则对于任意z∈C，z₁+z＞z₂+z
④对于复数z＞0，若z₁＞z₂，则z•z₁＞z•z₂．

15. 难度：中等

如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB，垂足为D，且AD=5DB，设∠COD=θ，则tanθ的值为    ．

16. 难度：中等

（选修4-4：坐标系与参数方程）
已知直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为．以直角坐标系xOy中的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，圆C的极坐标方程为ρ²-4ρcosθ+3=0，则圆心C到直线l距离为    ．

17. 难度：中等

已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点．
（1）求sin2α-tanα的值；
（2）若函数f（x）=cos（x-α）cosα-sin（x-α）sinα，求函数在区间上的取值范围．

18. 难度：中等

在数列{a_n}中，．
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）若存在n∈N^*，使得a_n≤（n+1）λ成立，求实数λ的最小值．

19. 难度：中等

某种家电器每台的销售利润与该电器无故障使用时间T（单位：年）有关，若T≤1，则销售利润为0元，若1＜T≤3，则销售利润为100元，若T＞3，则销售利润为200元，设每台该种电台无故障使用时间T≤1，1＜T≤3及T＞3这三种情况发生的概率为P₁，P₂，P₃，又知P₁，P₂是方程25x²-15x+a=0的两个根，且P₂=P₃，
（1）求P₁，P₂，P₃的值；
（2）记ξ表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求ξ的分布列和期望

20. 难度：中等

已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．

（1）求证：BN⊥平面C₁B₁N；
（2）；
（3）设M为AB中点，在BC边上找一点P，使MP∥平面CNB₁并求．

21. 难度：中等

如图，已知椭圆内有一点M，过M作两条动直线AC、BD分别交椭圆于A、C和B、D两点，若．

（1）证明：AC⊥BD；
（2）若M点恰好为椭圆中心O
（i）四边形ABCD是否存在内切圆？若存在，求其内切圆方程；若不存在，请说明理由．
（ii）求弦AB长的最小值．

22. 难度：中等

已知函数．
（1）当时，求f（x）的单调区间；
（2）当a=1时，若在区间[2，+∞）上存在一点x，使得f（x）＜g（x）成立，求b的取值范围．