2012年上海市浦东新区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

抛物线y²=4x的焦点坐标为    ．

2. 难度：中等

已知，则=    ．

3. 难度：中等

向量在向量方向上的投影为    ．

4. 难度：中等

若集合A={x|x²-5x+6≤0}，集合B={x|ax-2=0，a∈Z}，且B⊆A，则实数a=    ．

5. 难度：中等

已知三个球的表面积之比是1：2：3，则这三个球的体积之比为    ．

6. 难度：中等

在△ABC中，若b=1，，，则S_△ABC=    ．

7. 难度：中等

在极坐标系中，点关于直线l：ρcosθ=1的对称点到极点的距离是    ．

8. 难度：中等

甲、乙、丙三位旅行者体验城市生活，从地铁某站上车，分别从前方10个地铁站中随机选择一个地铁站下车，则甲、乙、丙三人不在同一站下车有    种方法（用数字作答）．

9. 难度：中等

执行程序框图，如果输入的n是4，则输出的P=    ．

10. 难度：中等

若函数有且只有一个零点，则实数a=    ．

11. 难度：中等

已知数列，首项，若二次方程的根α、β且满足3α+αβ+3β=1，则数列{a_n}的前n项和S_n=    ．

12. 难度：中等

毕业生小王参加人才招聘会，分别向A、B两个公司投递个人简历．假定小王得到A公司面试的概率为，得到B公司面试的概率为p，且两个公司是否让其面试是独立的．记ξ为小王得到面试的公司个数．若ξ=0时的概率，则随机变量ξ的数学期望E（ξ）=    ．

13. 难度：中等

手机产业的发展催生了网络新字“孖”．某学生准备在计算机上作出其对应的图象，其中A（2，2），如图所示．在作曲线段AB时，该学生想把函数的图象作适当变换，得到该段函数的曲线．请写出曲线段AB在x∈[2，3]上对应的函数解析式    ．

14. 难度：中等

在证明恒等式时，可利用组合数表示n²，即推得．类似地，在推导恒等式时，也可以利用组合数表示n³推得．则n³=    ．

二、选择题

15. 难度：中等

已知非零向量、，“函数为偶函数”是“”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件

16. 难度：中等

设z₁、z₂为复数，下列命题一定成立的是（ ）
A．如果，那么
B．如果|z₁|=|z₂|，那么
C．如果|z₁|≤a，a是正实数，那么
D．如果|z₁|=a，a是正实数，那么

17. 难度：中等

若双曲线C₁：（a₁＞0，b₁＞0）和双曲线C₂：（a₂＞0，b₂＞0）的焦点相同，且a₁＞a₂．给出下列四个结论：①；②；③b₁＜b₂；④a₁+a₂＞b₁+b₂；其中所有正确的结论序号是（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①④

18. 难度：中等

已知函数，且f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x）），n=1，2，3，…．则满足方程f_n（x）=x的根的个数为（ ）
A．2n个
B．2n²个
C．2ⁿ个
D．2（2ⁿ-1）个

三、解答题

19. 难度：中等

已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos²x．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）图象向右平移个单位后，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=1的解．

20. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BA⊥BC．
（1）若BA=BB₁，求证：AB₁⊥平面A₁BC；
（2）若BA=BC=BB₁=2，M是棱BC上的一动点．试确定点M的位置，使点M到平面A₁B₁C的距离等于．

21. 难度：中等

已知椭圆，左右焦点分别为F₁，F₂，长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形，直线l经过点F₂，倾斜角为45°，与椭圆交于A，B两点．
（1）若|F₁F₂|=2，求椭圆方程；
（2）对（1）中椭圆，求△ABF₁的面积；
（3）M是椭圆上任意一点，若存在实数λ，μ，使得，试确定λ，μ的关系式．

22. 难度：中等

记数列{a_n}的前n项和为S_n．已知向量（n∈N^*）和（n∈N^*）满足．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求S_3n；
（3）设，求数列{b_n}的前n项的和为T_n．

23. 难度：中等

已知函数y=f（x），x∈D，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数m，总存在非零常数T，恒有f（x+T）＞m•f（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类增周期函数，周期为T．若恒有f（x+T）=m•f（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类周期函数，周期为T．
（1）已知函数f（x）=-x²+ax是[3，+∞）上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a的取值范围；
（2）已知 T=1，y=f（x）是[0，+∞）上m级类周期函数，且y=f（x）是[0，+∞）上的单调递增函数，当x∈[0，1）时，f（x）=2^x，求实数m的取值范围；
（3）下面两个问题可以任选一个问题作答，如果你选做了两个，我们将按照问题（Ⅰ）给你记分．
（Ⅰ）已知当x∈[0，4]时，函数f（x）=x²-4x，若f（x）是[0，+∞）上周期为4的m级类周期函数，且y=f（x）的值域为一个闭区间，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数k，使函数f（x）=coskx是R上的周期为T的T级类周期函数，若存在，求出实数k和T的值，若不存在，说明理由．