2012年广东省韶关市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若复数i•（1+ai）是纯虚数，则实数a的值是（ ）
A．1
B．-1
C．0
D．0或-1

2. 难度：中等

已知集合A={x||x|≤2}，x∈R，Z}，则A∩B=（ ）
A．（0，2）
B．[0，2]
C．{0，2}
D．{0，1，2}

3. 难度：中等

设a=2^2.5，b=2.5，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞c＞b
B．c＞a＞b
C．a＞b＞c
D．b＞a＞c

4. 难度：中等

一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．1
B．3
C．6
D．2

5. 难度：中等

设向量，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．与垂直
D．

6. 难度：中等

执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则P的取值范围（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

下列四个判断：
①某校高三一班和高三二班的人数分别是m，n，某次测试数学平均分分别是a，b，则这两个班的数学平均分为；
②10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有c＞a＞b；
③从总体中抽取的样本（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n），若记=x_i，=则回归直线y=bx+a必过点（）；
④已知ξ服从正态分布N（0，σ²），且p（-2≤ξ≤0）=0.3，则p（ξ＞2）=0.2；
其中正确的个数有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

8. 难度：中等

定义符号函数sgnx=，设f（x）=••f₂（x），x∈[0，1]，其中f₁（x）=，f₂（x）=2（1-x），若，则实数a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

9. 难度：中等

已知A是单位圆上的点，且点A在第二象限，点B是此圆与x轴正半轴的交点，记∠AOB=α，若点A的纵坐标为．则sinα=    ；tan（π-2α）=    ．

10. 难度：中等

以抛物线y²=4x的焦点为圆心，且被y轴截得的弦长等于2的圆的方程为    ．

11. 难度：中等

从如图所示的长方形区域内任取一个点M（x，y），则点M取自阴影部分部分的概率为    ．

12. 难度：中等

已知x，y满足约束条件，则z=2x+4y的最小值是    ．

13. 难度：中等

设f（x）=|x-1|+|x+1|，若不等式对任意实数a≠0恒成立，则x取值集合是    ．

14. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）如图，AB是圆O的直径，AD=DE，AB=8，BD=6，则=    ．

15. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）
已知直线l方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=1，则圆C上的点到直线l的距离最小值是    ．

16. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且S₁，2S₂，3S₃成等差数列．
（1）求数列{a_n}通项公式；
（2）设b_n=a_n+n，求数列{b_n}前n项和T_n．

17. 难度：中等

有一个3×4×5的长方体，它的六个面上均涂上颜色．现将这个长方体锯成60个1×1×1的小正方体，从这些小正方体中随机地任取1个，设小正方体涂上颜色的面数为ξ．
（1）求ξ=0的概率；
（2）求ξ的分布列和数学期望．

18. 难度：中等

如图1中矩形ABCD中，已知AB=2，，MN分别为AD和BC的中点，对角线BD与MN交于O点，沿MN把矩形ABNM折起，使平面ABNM与平面MNCD所成角为60°，如图2
（1）求证：BO⊥DO；
（2）求AO与平面BOD所成角的正弦值．

19. 难度：中等

在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中c=2，且．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）如图，设圆O过A，B，C三点，点P位于劣弧上，求△PAC面积最大值．

20. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，动点P与定点F（1，0）的距离和它到定直线x=2的距离之比是，设动点P的轨迹为C₁，Q是动圆（1＜r＜2）上一点．
（1）求动点P的轨迹C₁的方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）设曲线C₁上的三点与点F的距离成等差数列，若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k；
（3）若直线PQ与C₁和动圆C₂均只有一个公共点，求P、Q两点的距离|PQ|的最大值．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（x+1）+mx，当x=0时，函数f（x）取得极大值．
（1）求实数m的值；
（2）已知结论：若函数f（x）=ln（x+1）+mx在区间（a，b）内导数都存在，且a＞-1，则存在x∈（a，b），使得．试用这个结论证明：若-1＜x₁＜x₂，函数，则对任意x∈（x₁，x₂），都有f（x）＞g（x）；
（3）已知正数λ₁，λ₂，…，λ_n，满足λ₁+λ₂+…+λ_n=1，求证：当n≥2，n∈N时，对任意大于-1，且互不相等的实数x₁，x₂，…，x_n，都有f（λ₁x₁+λ₂x₂+…+λ_nx_n）＞λ₁f（x₁）+λ₂f（x₂）+…+λ_nf（x_n）．