2011-2012学年广东省六校高三第四次联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知A，B是非空集合，命题甲：A∪B=B，命题乙：A⊈B，那么（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲是乙的既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

复数=（ ）
A．1-i
B．-1+i
C．1+i
D．-1-i

3. 难度：中等

已知点N（x，y）在由不等式组确定的平面区域内，则N（x，y）所在平面区域的面积是（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8

4. 难度：中等

等差数列{a_n}中，已知a₃=5，a₂+a₅=12，a_n=29，则n为（ ）
A．13
B．14
C．15
D．16

5. 难度：中等

函数的图象（ ）
A．关于原点对称
B．关于主线y=-x对称
C．关于y轴对称
D．关于直线y=x对称

6. 难度：中等

若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知平面α，β，γ，直线m，l，点A，有下面四个命题，其中正确的命题是（ ）
A．若l⊂α，m∩α=A则l与m必为异面直线
B．若l∥α，l∥m则m∥α
C．若l⊂α，m⊂β，l∥β，m∥α则α∥β
D．若α⊥γ，γ∩α=m，γ∩β=l，l⊥m，则l⊥α

8. 难度：中等

某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱和为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的顶点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”，黑“电子狗”爬行的路线是AA₁→A₁D₁→…，黄“电子狗”爬行的路线是AB→BB₁→…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须异面直线（其中i是正整数）．设黑“电子狗”爬完2012段、黄“电子狗”爬完2011段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是（ ）
A．0
B．1
C．
D．

二、解答题

9. 难度：中等

=    ．

10. 难度：中等

函数f（x）=sin²x+cos2x，x∈R的最小正周期为    ．

11. 难度：中等

在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，D为斜边AB的中点，则 =    ．

12. 难度：中等

若双曲线（a＞0）的一条渐近线方程为3x-2y=0，则以双曲线的顶点和焦点分别为焦点和顶点的椭圆的离心率为    ．

13. 难度：中等

将“杨辉三角”中的数从左到右、从上到下排 成一数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，如图所示程序框图用来输出此数列的前若干项并求其和，若输入m=4则相应最后的输出S的值是    ．

14. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C₁、C₂的极坐标方程分别为，，则曲线C₁上的点与曲线C₂上的点的最远距离为    ．

15. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）如图，点M为⊙O的弦AB上的一点，连接MO．MN⊥OM，MN交圆于N，若MA=2，MB=4，则MN=    ．

16. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S是该三角形的面积．
（1）若，，，求角B的度数；
（2）若a=8，，，求b的值．

17. 难度：中等

甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响．
（1）求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；
（2）假设某人连续2次未击中目标，则停止射击，问：乙恰好射击4次后，被中止射击的概率是多少？
（3）设甲连续射击3次，用ξ表示甲击中目标时射击的次数，求ξ的数学期望Eξ．（结果可以用分数表示）

18. 难度：中等

如图，四边形ABCD中（图1），E是BC的中点，DB=2，DC=1，，．将（图1）沿直线BD折起，使二面角A-BD-C为60°（如图2）
（1）求证：AE⊥平面BDC；
（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
（3）求点B到平面ACD的距离．

19. 难度：中等

已知函数．
（1）设a=1时，求函数f（x）极大值和极小值；
（2）a∈R时讨论函数f（x）的单调区间．

20. 难度：中等

如图，P是抛物线C：上横坐标大于零的一点，直线l过点P并与抛物线C在点P处的切线垂直，直线l与抛物线C相交于另一点Q．
（1）当点P的横坐标为2时，求直线l的方程；
（2）若，求过点P，Q，O的圆的方程．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，正数数列{b_n}中b₂=e，（e为自然对数的底≈2.718）且∀n∈N^*总有2^n-1是S_n与a_n的等差中项，的等比中项．
（1）求证：∀n∈N^*有；
（2）求证：∀n∈N^*有．