2011-2012学年辽宁省大连市、沈阳市高三第二次联考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|log_x4=2}，则A∪B=（ ）
A．{-2，1，2}
B．{1，2}
C．{-2，2}
D．{2}

2. 难度：中等

若复数z=（a²+2a-3）+（a+3）i为纯虚数（为虚数单位），则实数a的值是（ ）
A．-3
B．-3或1
C．3或-1
D．1

3. 难度：中等

下面的茎叶图表示的是某城市一台自动售货机的销售额情况（单位：元），图中的数字7表示的意义是这台自动售货机的销售额为（ ）

A．7元
B．37元
C．27元
D．2337元

4. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₂、a₄是方程x²-x-2=0的两个根，则S₅=（ ）
A．
B．5
C．
D．-5

5. 难度：中等

如果不共线向量满足，那么向量的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

若利用计算机在区间（0，1）上产生两个不等的随机数a和b，则方程有不等实数根的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

设a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，则“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的（ ）
A．充要条件
B．充分而不必要的条件
C．必要而不充分的条件
D．既不充分也不必要的条件

8. 难度：中等

曲线在x=1处的切线的倾斜角是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知F₁、F₂分别为椭圆C：的左、右焦点，点P为椭圆C上的动点，则△PF₁F₂的重心G的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知某程序框图如图所示，则该程序运行后，输出的结果为（ ）

A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

过双曲线右焦点F作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，三边a、b、c成等差数列，且，则cosA-cosC的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

13. 难度：中等

已知tanα=2，则的值为    ．

14. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知数列{S_n}是首项和公比都是3的等比数列，则{a_n}的通项公式a_n=    ．

15. 难度：中等

如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形 （单位：cm），则该三棱锥的外接球的表面积为    cm²．

16. 难度：中等

函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）在R上的导函数f′（x）＞，则不等式f（x）＜的解集为    ．

17. 难度：中等

某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1，2，3，4，5．现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：

X	1	2	3	4	5
f	a	0.2	0.45	b	c

（Ⅰ）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a、b、c的值；
（Ⅱ）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x₁，x₂，x₃，等级系数为5的2件日用品记为y₁，y₂，现从x₁，x₂，x₃，y₁，y₂，这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．

18. 难度：中等

已知向量，，设函数，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若，求函数f（x）值域．

19. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD为长方形，AD=2AB，点E、F分别是线段PD、PC的中点．
（Ⅰ）证明：EF∥平面PAB；
（Ⅱ）在线段AD上是否存在一点O，使得BO⊥平面PAC，若存在，请指出点O的位置，并证明BO⊥平面PAC；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=ax-1-lnx（a∈R）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；
（Ⅱ）已知函数f（x）在x=1处取得极值，且对∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，求实数b的取值范围．

21. 难度：中等

如图，已知抛物线C：y²=2px和⊙M：（x-4）²+y²=1，过抛物线C上一点H（x，y）（y≥1）作两条直线与⊙M相切于A、两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点M到抛物线准线的距离为．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）当∠AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率；
（Ⅲ）若直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值．

22. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲
已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．
（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；
（Ⅱ）求BC的长．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线l的极坐标方程为：，点P（2cosα，2sinα+2），参数α∈[0，2π]．
（Ⅰ）求点P轨迹的直角坐标方程；
（Ⅱ）求点P到直线l距离的最大值．

24. 难度：中等

选修4-5；不等式选讲
已知函数f（x）=|2x-a|+a．
（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|-2≤x≤3}，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m-f（-n）成立，求实数m的取值范围．